2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на уравнения Лагранжа второго рода
Сообщение04.12.2017, 00:20 


05/11/17
4
Тонкий однородный стержень массой $m$ и длины $a$ подвешен при помощи невесомой нерастяжимой нити длины $l$ к неподвижной точке. Стержень движется в фиксированной вертикальной плоскости, проходящей через эту точку. Написать уравнения движения стержня в форме уравнений Лагранжа второго рода. За обобщенные координаты принять углы $\varphi_1, \varphi_2$, которые составляют нить и стержень с вертикалью.

Изображение


Сначала рассматриваю стержень, т.е. фиксирую $\varphi_1$.

Обобщенная сила разбивается на две: потенциальную($\frac{dP}{d\varphi_2} = mg\cos{\varphi_1}a/2$) и не потенциальную.
Ее считаю, сдвигая стержень на угол $\delta\varphi$. Эта обобщенная сила равна моменту всех сил, действующих на стержень:$Q_{22} = M = -(-k\dot{\varphi}a\cos{\pi/2}\cos{\pi/2}a/2) + F\cos{\varphi_1-\varphi_2}a/2+S\sin{\varphi_1 - \varphi_2}a/2$, где $S$ -- сила натяжения нити.

Дальше не могу осознать, как искать обобщенную силу для нити. Помогите пожалуйста разобраться.

На нить действует сила со стороны стержня, она направлена под углом $\varphi_1 - \varphi_2$? И тогда векторно эта сила $+$ сила натяжения нити $+$ сила $F$ должны давать 0? И как найти силу натяжения нити, которую я назвал $S$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на уравнения Лагранжа второго рода
Сообщение04.12.2017, 08:56 
Аватара пользователя


31/08/17
716
сила натяжения нити является реакцией идеальной связи, реакции идеальных связей в уравнения Лагранжа не входят

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на уравнения Лагранжа второго рода
Сообщение04.12.2017, 10:13 
Аватара пользователя


31/08/17
716
впрочем, там и в остальном ни одной формулы правильно не написано, вам надо садиться за учебник и учить

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на уравнения Лагранжа второго рода
Сообщение04.12.2017, 10:59 
Аватара пользователя


09/10/15
2800
Columbia, Missouri, USA
Попробую написать выражение для потенциальной и кинетической энергии:
$P=-mg(l\cos\varphi_1+\frac{a}{2}\cos\varphi_2)$
$K=\frac{m}{2}(l^2\dot{\varphi}_1^2+\frac{a^2}{3}\dot{\varphi}_2^2+al\cos(\varphi_2-\varphi_1)\dot{\varphi}_1\dot{\varphi}_2)$
Интересно, как отсюда найти натяжение нити?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на уравнения Лагранжа второго рода
Сообщение04.12.2017, 11:29 
Аватара пользователя


31/08/17
716
реакции идеальных связей ищутся методом множителей Лагранжа

-- 04.12.2017, 12:56 --

см уравнения Лагранжа со множителями

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на уравнения Лагранжа второго рода
Сообщение04.12.2017, 12:54 


05/11/17
4
pogulyat_vyshel в сообщении #1271822 писал(а):
впрочем, там и в остальном ни одной формулы правильно не написано, вам надо садиться за учебник и учить

А что не так с остальными формулами? Обобщенную силу вроде законно разбил на потенциальную и непотенциальную. Потенциальную вроде посчитал как минус дэ Пэ по дэ ку. У непонтенциальных посчитал момент, проецируя действующие силы на нормаль к стержню. Мысленно сдвинул стержень на малый угол, посмотрел какая работа совершена.
Только сила натяжения лишняя.
В формуле вчера допустил несколько опечаток:
$Q_{22} = M = -(-k\dot{\varphi_2}a\cos{(\pi/2 - \varphi_2)}\cos{(\pi/2-\varphi_2)}a/2) + F\cos{(\varphi_1-\varphi_2)}a/2+S\sin{(\varphi_1 - \varphi_2)}a/2$
Вот так без силы натяжения.
$Q_{22} = M = -(-k\dot{\varphi_2}a\cos{(\pi/2 - \varphi_2)}\cos{(\pi/2-\varphi_2)}a/2) + F\cos{(\varphi_1-\varphi_2)}a/2

pogulyat_vyshel в сообщении #1271796 писал(а):
сила натяжения нити является реакцией идеальной связи, реакции идеальных связей в уравнения Лагранжа не входят

С силой натяжения понял, спасибо.

pogulyat_vyshel в сообщении #1271844 писал(а):
реакции идеальных связей ищутся методом множителей Лагранжа

-- 04.12.2017, 12:56 --

см уравнения Лагранжа со множителями


Посоветуйте тогда литературу пожалуйста, в учебнике Маркеева сейчас прочитал, но там нет примеров решения задач на эту тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на уравнения Лагранжа второго рода
Сообщение04.12.2017, 17:45 
Аватара пользователя


31/08/17
716
Формулы я ваши не проверял, в исходной версии бросается в глаза несоответствие размерностей. Книжки Маркеева должно быть достаточно. В этой книжке должна быть формула вида
$$Q_i=\sum_{k=1}^N\Big(\frac{\partial \boldsymbol r_k}{\partial q^i},\boldsymbol F_k\Big)$$
Используйте эту формулу для непотенциальных сил, если хотите гарантировать себя от ошибок

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group