Задача на уравнения Лагранжа второго рода

[Chefan]

Тонкий однородный стержень массой $m$ и длины $a$ подвешен при помощи невесомой нерастяжимой нити длины $l$ к неподвижной точке. Стержень движется в фиксированной вертикальной плоскости, проходящей через эту точку. Написать уравнения движения стержня в форме уравнений Лагранжа второго рода. За обобщенные координаты принять углы $\varphi_1, \varphi_2$, которые составляют нить и стержень с вертикалью.




Сначала рассматриваю стержень, т.е. фиксирую $\varphi_1$.

Обобщенная сила разбивается на две: потенциальную($\frac{dP}{d\varphi_2} = mg\cos{\varphi_1}a/2$) и не потенциальную.
Ее считаю, сдвигая стержень на угол $\delta\varphi$. Эта обобщенная сила равна моменту всех сил, действующих на стержень:$Q_{22} = M = -(-k\dot{\varphi}a\cos{\pi/2}\cos{\pi/2}a/2) + F\cos{\varphi_1-\varphi_2}a/2+S\sin{\varphi_1 - \varphi_2}a/2$, где $S$ -- сила натяжения нити.

Дальше не могу осознать, как искать обобщенную силу для нити. Помогите пожалуйста разобраться.

На нить действует сила со стороны стержня, она направлена под углом $\varphi_1 - \varphi_2$? И тогда векторно эта сила $+$ сила натяжения нити $+$ сила $F$ должны давать 0? И как найти силу натяжения нити, которую я назвал $S$?

[pogulyat_vyshel]

сила натяжения нити является реакцией идеальной связи, реакции идеальных связей в уравнения Лагранжа не входят

[pogulyat_vyshel]

впрочем, там и в остальном ни одной формулы правильно не написано, вам надо садиться за учебник и учить

[fred1996]

Попробую написать выражение для потенциальной и кинетической энергии:
$P=-mg(l\cos\varphi_1+\frac{a}{2}\cos\varphi_2)$
$K=\frac{m}{2}(l^2\dot{\varphi}_1^2+\frac{a^2}{3}\dot{\varphi}_2^2+al\cos(\varphi_2-\varphi_1)\dot{\varphi}_1\dot{\varphi}_2)$
Интересно, как отсюда найти натяжение нити?

[pogulyat_vyshel]

реакции идеальных связей ищутся методом множителей Лагранжа

-- 04.12.2017, 12:56 --

см уравнения Лагранжа со множителями

[Chefan]

pogulyat_vyshel в сообщении #1271822 писал(а):

впрочем, там и в остальном ни одной формулы правильно не написано, вам надо садиться за учебник и учить

А что не так с остальными формулами? Обобщенную силу вроде законно разбил на потенциальную и непотенциальную. Потенциальную вроде посчитал как минус дэ Пэ по дэ ку. У непонтенциальных посчитал момент, проецируя действующие силы на нормаль к стержню. Мысленно сдвинул стержень на малый угол, посмотрел какая работа совершена.
Только сила натяжения лишняя.
В формуле вчера допустил несколько опечаток:
$Q_{22} = M = -(-k\dot{\varphi_2}a\cos{(\pi/2 - \varphi_2)}\cos{(\pi/2-\varphi_2)}a/2) + F\cos{(\varphi_1-\varphi_2)}a/2+S\sin{(\varphi_1 - \varphi_2)}a/2$
Вот так без силы натяжения.
$Q_{22} = M = -(-k\dot{\varphi_2}a\cos{(\pi/2 - \varphi_2)}\cos{(\pi/2-\varphi_2)}a/2) + F\cos{(\varphi_1-\varphi_2)}a/2

pogulyat_vyshel в сообщении #1271796 писал(а):

сила натяжения нити является реакцией идеальной связи, реакции идеальных связей в уравнения Лагранжа не входят

С силой натяжения понял, спасибо.

pogulyat_vyshel в сообщении #1271844 писал(а):

реакции идеальных связей ищутся методом множителей Лагранжа

-- 04.12.2017, 12:56 --

см уравнения Лагранжа со множителями

Посоветуйте тогда литературу пожалуйста, в учебнике Маркеева сейчас прочитал, но там нет примеров решения задач на эту тему.

[pogulyat_vyshel]

Формулы я ваши не проверял, в исходной версии бросается в глаза несоответствие размерностей. Книжки Маркеева должно быть достаточно. В этой книжке должна быть формула вида

$$Q_i=\sum_{k=1}^N\Big(\frac{\partial \boldsymbol r_k}{\partial q^i},\boldsymbol F_k\Big)$$

Используйте эту формулу для непотенциальных сил, если хотите гарантировать себя от ошибок