2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Взятие гауссового интеграла
Сообщение03.12.2017, 22:10 


29/12/14
199

(насчёт раздела)

Не знал, в какой раздел стоит писать, решил, что всё-таки в физический. Во-первых, происхождение задачи физическое. Во-вторых, физики к таким интегралам как-то более привычны, думаю. Наконец, в ПРР(М) меня, думаю, камнями закидают за столь вольное обращение с математикой.

Требуется вычислить интеграл типа $\displaystyle\int D \psi \,e^{i S}$ с
$\displaystyle S = -\int_x \left(\mathcal{J}_i \psi_i + \frac{1}{2} \psi_i g^{ij} \psi_j \right)$

где $\displaystyle\mathcal{J}_i = a + \partial_t \varphi_i$, \displaystyle g^{ij} = b \, J^{ij} - c \, \delta^{ij} \partial_{\vec{x}}^2$, $a, b, c$ - некоторые константы, а $J^{ij}$ - $N \times N$ матрица единиц.

Поскольку интеграл гауссового типа, то ответ будет вида $\displaystyle \exp{\left(\frac{1}{2} J_i (g^{ij})^{-1} J_j\right)}$, то есть нужно найти выражение для обратного оператора. Поскольку выражение для $g$ содержит $\partial^2_{\vec{x}}$, это имеет смысл делать в фурье-представлении. Получим :

$S = -\mathcal{J}_i (k) \psi_i(k) - \frac{1}{2} \psi_i(k) g^{ij}(k,k') \psi_j(k')$
где
$\mathcal{J}_i(k) = (2 \pi)^4 \delta (k) \times a - i \omega \, \varphi_i (-k)  $

и

$g^{ij}(k,k') = \left(b J^{ij}  + \delta^{ij} c \, \vec{k}^2\right) (2 \pi)^4 \delta (k + k')$

Этот оператор может быть сравнительно просто обращён. Импульсная и "компонентная" части могут быть обращены независимо друг от друга (?), при этом $k$-часть диагональна, поэтому её обращение тривиально. Для "компонентной" же части ответ такой:

$\left(g^{ij}\right)^{-1} = x \delta^{ij} + y J^{ij}$

с $x = \displaystyle\frac{1}{c \vec{k}^2}$,
и $\displaystyle y = -\frac{b}{c \vec{k}^2 \left(N b + c \vec{k}^2 \right)} \xrightarrow{N\rightarrow \infty} 0.$

Тогда в пределе $N \rightarrow \infty$ имеем что-то вроде $\exp{\left(\frac{1}{c |\vec{k}|^2} \mathcal{J}_i (k) \mathcal{J}_i(-k)\right)}$ (с интегрированием по $k$).

Проблема в том, что $\mathcal{J}_i (k)$ содержит $\delta(k)$, из-за чего появляется слагаемое типа $\displaystyle\frac{1}{\vec{k}^2} \delta(k)$. Да и в целом факт того, что появится слагаемое с 3 дельта-функциями и лишь 2 интегрированиями, меня напрягает. Где-то мог со знаками, коэффициентами и прочим накосячить, но принципиальный момент заключается в том, что из-за слагаемого $a \cdot\psi$ в начале в итоге получается какая-то чепуха. У меня была идея притвориться столбом и просто ввести $\tilde{\varphi} = \varphi + a t$, чтобы формально избавиться от проблемы, но по многим причинам делать мне этого не хочется.

В общем, как аккуратно разобраться с интегралом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие гауссового интеграла
Сообщение03.12.2017, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2873
ФТИ им. Иоффе СПб
Формальный ответ будет почти такой, как Вы написали: $\displaystyle\int D \psi \,e^{i S}=\displaystyle \exp{\left(\frac{1}{2} \mathcal{J}_i (g^{ij})^{-1} \mathcal{J}_j\right)}\det(g^{ij})$ Последний определитель сосчитать вряд ли получится, а $(g^{ij})^{-1} = (c\delta_{ik}\vec{k}^2+bJ_{ik})^{-1}.$ Т.е. надо честно считать обратную матрицу, и не конкретизируя вид $ J,$ боюсь, ничего не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие гауссового интеграла
Сообщение03.12.2017, 23:11 


29/12/14
199
amon
Нормировка меня особо не интересует, если честно, поэтому я определитель и отбросил. А $J$ - матрица единиц, то есть все элементы матрицы равны $1$. Я там ссылочку прицепил с темы на MO, где показывается, как матрицы типа $a \delta_{ij} + b J_{ij}$ обращаются. Собственно говоря, результат в исходном сообщении я тоже записал. Меня больше всего смущает, что у меня в $\mathcal{J}$ присутствует дельта-функция, из-за чего потом всё как-то очень нехорошо получается.

P.S. Вот, кстати, если формально действовать в координатном пространстве, то на диагонали у $g^{-1}$ будет стоять что-то вроде $\sim\displaystyle\frac{1}{\partial^2_{\vec{x}}}$. То есть с учётом того, что $\mathcal{J} = \operatorname{const} + ...$, будет и слагаемое вида $\displaystyle\sim \operatorname{const} \frac{1}{\partial^2_{\vec{x}}} \operatorname{const}$. Как вот этого "паразита" нормально обработать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие гауссового интеграла
Сообщение03.12.2017, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2873
ФТИ им. Иоффе СПб
Gickle в сообщении #1271684 писал(а):
Я там ссылочку прицепил с темы на MO, где показывается, как матрицы типа $a \delta_{ij} + b J_{ij}$
Если Вы это знаете, то обзовите $ck^2$ буквой $a$ и подставьте в результат.
Gickle в сообщении #1271684 писал(а):
Вот, кстати, если формально действовать в координатном пространстве, то на диагонали у $g^{-1}$ будет стоять что-то вроде $\sim\displaystyle\frac{1}{\partial^2_{\vec{x}}}$
В координатном пространстве надо честно искать функцию Грина исходного уравнения, и запись $ \mathcal{J}_i (g^{ij})^{-1} \mathcal{J}_j$ означает $\int dx\; dy\;   \mathcal{J}_i(x)(g^{ij})^{-1}(x,y)\mathcal{J}_j(y)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие гауссового интеграла
Сообщение03.12.2017, 23:37 


29/12/14
199
amon
amon в сообщении #1271694 писал(а):
Если Вы это знаете, то обзовите $ck^2$ буквой $a$ и подставьте в результат.

Дык подставил уже. Результат:

$\displaystyle\left(g^{ij}\right)^{-1} = \frac{1}{c \vec{k}^2} \delta^{ij}  -\frac{b}{c \vec{k}^2 \left(N b + c \vec{k}^2 \right)} J^{ij}$

Меня интересует предел $N \rightarrow \infty$, так что недиагональная часть пропадает.

В итоге получаем $\displaystyle\mathcal{J}_i(k) \frac{1}{c \vec{k}^2} \mathcal{J}_i(-k)$ (интегрирование по $k$ подразумевается, конечно). Однако в $\mathcal{J}_i(k)$ у меня есть слагаемое с $\delta(k)$, что приводит к какой-то фигне.

amon в сообщении #1271694 писал(а):
В координатном пространстве надо честно искать функцию Грина исходного уравнения, и запись $ \mathcal{J}_i (g^{ij})^{-1} \mathcal{J}_j$ означает $\int dx\; dy\;   \mathcal{J}_i(x)(g^{ij})^{-1}(x,y)\mathcal{J}_j(y)$


Да, я знаю. Как по мне, в импульсном пространстве гораздо удобнее, потому что никаких УЧП на функцию Грина не надо решать тогда. Там я писал скорее "умозрительно", чтобы показать, что и в координатном пространстве какая-то бяка наверняка вылезет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие гауссового интеграла
Сообщение03.12.2017, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2873
ФТИ им. Иоффе СПб
Там где-то должно быть $+i0$ (пропагатор Фейнмановский), и за её судьбой при предельном переходе не худо проследить.

-- 03.12.2017, 23:47 --

К стати, а кто такой $N$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие гауссового интеграла
Сообщение03.12.2017, 23:57 


29/12/14
199
amon в сообщении #1271705 писал(а):
Там где-то должно быть $+i 0 $(пропагатор Фейнмановский), и за её судьбой при предельном переходе не худо проследить.

В релятивистских теориях, если мне не изменяет память, в подходе интеграла по траекториям в какой-то момент добавляют слагаемое вида $i \varepsilon \varphi^2$ (пусть для простоты скалярная теория) для T-упорядочения. Здесь, как понимаю, аналогично стоит добавить $i \varepsilon \psi_i \delta_{ij} \psi_j $, что в итоге для пропагатора даст $\displaystyle \frac{1}{c \vec{k}^2} \rightarrow \frac{1}{c \vec{k}^2 + i \varepsilon}$. Это ситуацию никак не спасает, по-моему. Будет штука вида $\displaystyle \int_{k,k'} \frac{1}{c \vec{k}^2 + i \varepsilon} \delta(k) \delta(k') \delta(k + k')$, с которой я не имею понятия, что мне делать.


amon в сообщении #1271705 писал(а):
К стати, а кто такой $N$?

Gickle в сообщении #1271624 писал(а):
$J^{ij}$ - $N \times N$ матрица единиц

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие гауссового интеграла
Сообщение04.12.2017, 02:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2873
ФТИ им. Иоффе СПб
Фурье от $\frac{4\pi}{k^2}$ будет $\frac{1}{|\vec{r}|}$ (закон Кулона ;), и Ваше $\int dx\; dy\; \mathcal{J}_i(x)(g^{ij})^{-1}(x,y)\mathcal{J}_j(y)$ вроде как превращается в
$$
\int dx\;dy\frac{(a + \partial_t \varphi_i(x))(a + \partial_t \varphi_i(y))}{|\vec{x}-\vec{y}|}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие гауссового интеграла
Сообщение04.12.2017, 03:02 


29/12/14
199
amon
Попробовал в обратную сторону:
$\displaystyle\int_{x,y} \frac{1}{|\vec{x} - \vec{y}|} = \int_{x,y,\vec{k}} \frac{1}{\vec{k}^2} e^{i \vec{k} (\vec{x} - \vec{y})} = \int_k \frac{1}{\vec{k}^2} \delta (\vec{k}) \delta (-\vec{k})$

Очень похоже на то, что у меня получалось, да. Правда, у меня дельты были по 4-импульсам (надо внимательнее будет потом посмотреть, что да как). Но в любом случае у меня остаётся открытым вопрос. Вот если я захочу потом всё-таки в импульсном пространстве работать, что мне делать с этим уродцем? Можно ли как-то хитренько от него избавиться? У меня, повторюсь, была идея просто переопределить поле с $\varphi \rightarrow \varphi + a t$, тогда вот это противное слагаемое формально уйдёт. Но делать мне это не хочется по самым разным причинам.

А вот сказать, что это слагаемое, хотя и расходящееся, но является константой, поэтому из действия можно выбросить, - это уже совсем перебор наглости? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие гауссового интеграла
Сообщение04.12.2017, 03:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2873
ФТИ им. Иоффе СПб
Gickle в сообщении #1271770 писал(а):
А вот сказать, что это слагаемое, хотя и расходящееся, но является константой, поэтому из действия можно выбросить, - это уже совсем перебор наглости? :)
С этим без бубна, по-моему, ничего не сделать. Либо надо это засунуть в перенормировку полей (читай-выкинуть), либо сделать сначала виковский поворот $t\to it$. Тогда в $e^{-S}$ этот член занулится, и при обратном развороте его не будет, но это надо аккуратно делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взятие гауссового интеграла
Сообщение04.12.2017, 03:26 


29/12/14
199
amon
Угу, будем-с думать. Большое спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group