Взятие гауссового интеграла

[Gickle]

(насчёт раздела)

Не знал, в какой раздел стоит писать, решил, что всё-таки в физический. Во-первых, происхождение задачи физическое. Во-вторых, физики к таким интегралам как-то более привычны, думаю. Наконец, в ПРР(М) меня, думаю, камнями закидают за столь вольное обращение с математикой.

Требуется вычислить интеграл типа $\displaystyle\int D \psi \,e^{i S}$ с
$\displaystyle S = -\int_x \left(\mathcal{J}_i \psi_i + \frac{1}{2} \psi_i g^{ij} \psi_j \right)$

где $\displaystyle\mathcal{J}_i = a + \partial_t \varphi_i$, \displaystyle g^{ij} = b \, J^{ij} - c \, \delta^{ij} \partial_{\vec{x}}^2$, $a, b, c$ - некоторые константы, а $J^{ij}$ - $N \times N$ матрица единиц.

Поскольку интеграл гауссового типа, то ответ будет вида $\displaystyle \exp{\left(\frac{1}{2} J_i (g^{ij})^{-1} J_j\right)}$, то есть нужно найти выражение для обратного оператора. Поскольку выражение для $g$ содержит $\partial^2_{\vec{x}}$, это имеет смысл делать в фурье-представлении. Получим :

$S = -\mathcal{J}_i (k) \psi_i(k) - \frac{1}{2} \psi_i(k) g^{ij}(k,k') \psi_j(k')$
где
$\mathcal{J}_i(k) = (2 \pi)^4 \delta (k) \times a - i \omega \, \varphi_i (-k) $

и

$g^{ij}(k,k') = \left(b J^{ij} + \delta^{ij} c \, \vec{k}^2\right) (2 \pi)^4 \delta (k + k')$

Этот оператор может быть сравнительно просто обращён. Импульсная и "компонентная" части могут быть обращены независимо друг от друга (?), при этом $k$-часть диагональна, поэтому её обращение тривиально. Для "компонентной" же части ответ такой:

$\left(g^{ij}\right)^{-1} = x \delta^{ij} + y J^{ij}$

с $x = \displaystyle\frac{1}{c \vec{k}^2}$,
и $\displaystyle y = -\frac{b}{c \vec{k}^2 \left(N b + c \vec{k}^2 \right)} \xrightarrow{N\rightarrow \infty} 0.$

Тогда в пределе $N \rightarrow \infty$ имеем что-то вроде $\exp{\left(\frac{1}{c |\vec{k}|^2} \mathcal{J}_i (k) \mathcal{J}_i(-k)\right)}$ (с интегрированием по $k$).

Проблема в том, что $\mathcal{J}_i (k)$ содержит $\delta(k)$, из-за чего появляется слагаемое типа $\displaystyle\frac{1}{\vec{k}^2} \delta(k)$. Да и в целом факт того, что появится слагаемое с 3 дельта-функциями и лишь 2 интегрированиями, меня напрягает. Где-то мог со знаками, коэффициентами и прочим накосячить, но принципиальный момент заключается в том, что из-за слагаемого $a \cdot\psi$ в начале в итоге получается какая-то чепуха. У меня была идея притвориться столбом и просто ввести $\tilde{\varphi} = \varphi + a t$, чтобы формально избавиться от проблемы, но по многим причинам делать мне этого не хочется.

В общем, как аккуратно разобраться с интегралом?

[amon]

Формальный ответ будет почти такой, как Вы написали: $\displaystyle\int D \psi \,e^{i S}=\displaystyle \exp{\left(\frac{1}{2} \mathcal{J}_i (g^{ij})^{-1} \mathcal{J}_j\right)}\det(g^{ij})$ Последний определитель сосчитать вряд ли получится, а $(g^{ij})^{-1} = (c\delta_{ik}\vec{k}^2+bJ_{ik})^{-1}.$ Т.е. надо честно считать обратную матрицу, и не конкретизируя вид $ J,$ боюсь, ничего не получится.

[Gickle]

amon
Нормировка меня особо не интересует, если честно, поэтому я определитель и отбросил. А $J$ - матрица единиц, то есть все элементы матрицы равны $1$. Я там ссылочку прицепил с темы на MO, где показывается, как матрицы типа $a \delta_{ij} + b J_{ij}$ обращаются. Собственно говоря, результат в исходном сообщении я тоже записал. Меня больше всего смущает, что у меня в $\mathcal{J}$ присутствует дельта-функция, из-за чего потом всё как-то очень нехорошо получается.

P.S. Вот, кстати, если формально действовать в координатном пространстве, то на диагонали у $g^{-1}$ будет стоять что-то вроде $\sim\displaystyle\frac{1}{\partial^2_{\vec{x}}}$. То есть с учётом того, что $\mathcal{J} = \operatorname{const} + ...$, будет и слагаемое вида $\displaystyle\sim \operatorname{const} \frac{1}{\partial^2_{\vec{x}}} \operatorname{const}$. Как вот этого "паразита" нормально обработать?

[amon]

Gickle в сообщении #1271684 писал(а):

Я там ссылочку прицепил с темы на MO, где показывается, как матрицы типа $a \delta_{ij} + b J_{ij}$

Если Вы это знаете, то обзовите $ck^2$ буквой $a$ и подставьте в результат.

Gickle в сообщении #1271684 писал(а):

Вот, кстати, если формально действовать в координатном пространстве, то на диагонали у $g^{-1}$ будет стоять что-то вроде $\sim\displaystyle\frac{1}{\partial^2_{\vec{x}}}$

В координатном пространстве надо честно искать функцию Грина исходного уравнения, и запись $ \mathcal{J}_i (g^{ij})^{-1} \mathcal{J}_j$ означает $\int dx\; dy\; \mathcal{J}_i(x)(g^{ij})^{-1}(x,y)\mathcal{J}_j(y)$

[Gickle]

amon

amon в сообщении #1271694 писал(а):

Если Вы это знаете, то обзовите $ck^2$ буквой $a$ и подставьте в результат.

Дык подставил уже. Результат:

$\displaystyle\left(g^{ij}\right)^{-1} = \frac{1}{c \vec{k}^2} \delta^{ij} -\frac{b}{c \vec{k}^2 \left(N b + c \vec{k}^2 \right)} J^{ij}$

Меня интересует предел $N \rightarrow \infty$, так что недиагональная часть пропадает.

В итоге получаем $\displaystyle\mathcal{J}_i(k) \frac{1}{c \vec{k}^2} \mathcal{J}_i(-k)$ (интегрирование по $k$ подразумевается, конечно). Однако в $\mathcal{J}_i(k)$ у меня есть слагаемое с $\delta(k)$, что приводит к какой-то фигне.

amon в сообщении #1271694 писал(а):

В координатном пространстве надо честно искать функцию Грина исходного уравнения, и запись $ \mathcal{J}_i (g^{ij})^{-1} \mathcal{J}_j$ означает $\int dx\; dy\; \mathcal{J}_i(x)(g^{ij})^{-1}(x,y)\mathcal{J}_j(y)$

Да, я знаю. Как по мне, в импульсном пространстве гораздо удобнее, потому что никаких УЧП на функцию Грина не надо решать тогда. Там я писал скорее "умозрительно", чтобы показать, что и в координатном пространстве какая-то бяка наверняка вылезет.

[amon]

Там где-то должно быть $+i0$ (пропагатор Фейнмановский), и за её судьбой при предельном переходе не худо проследить.

-- 03.12.2017, 23:47 --

К стати, а кто такой $N$?

[Gickle]

amon в сообщении #1271705 писал(а):

Там где-то должно быть $+i 0 $(пропагатор Фейнмановский), и за её судьбой при предельном переходе не худо проследить.

В релятивистских теориях, если мне не изменяет память, в подходе интеграла по траекториям в какой-то момент добавляют слагаемое вида $i \varepsilon \varphi^2$ (пусть для простоты скалярная теория) для T-упорядочения. Здесь, как понимаю, аналогично стоит добавить $i \varepsilon \psi_i \delta_{ij} \psi_j $, что в итоге для пропагатора даст $\displaystyle \frac{1}{c \vec{k}^2} \rightarrow \frac{1}{c \vec{k}^2 + i \varepsilon}$. Это ситуацию никак не спасает, по-моему. Будет штука вида $\displaystyle \int_{k,k'} \frac{1}{c \vec{k}^2 + i \varepsilon} \delta(k) \delta(k') \delta(k + k')$, с которой я не имею понятия, что мне делать.

amon в сообщении #1271705 писал(а):

К стати, а кто такой $N$?

Gickle в сообщении #1271624 писал(а):

$J^{ij}$ - $N \times N$ матрица единиц

[amon]

Фурье от $\frac{4\pi}{k^2}$ будет $\frac{1}{|\vec{r}|}$ (закон Кулона ;), и Ваше $\int dx\; dy\; \mathcal{J}_i(x)(g^{ij})^{-1}(x,y)\mathcal{J}_j(y)$ вроде как превращается в

$$ \int dx\;dy\frac{(a + \partial_t \varphi_i(x))(a + \partial_t \varphi_i(y))}{|\vec{x}-\vec{y}|} $$

[Gickle]

amon
Попробовал в обратную сторону:
$\displaystyle\int_{x,y} \frac{1}{|\vec{x} - \vec{y}|} = \int_{x,y,\vec{k}} \frac{1}{\vec{k}^2} e^{i \vec{k} (\vec{x} - \vec{y})} = \int_k \frac{1}{\vec{k}^2} \delta (\vec{k}) \delta (-\vec{k})$

Очень похоже на то, что у меня получалось, да. Правда, у меня дельты были по 4-импульсам (надо внимательнее будет потом посмотреть, что да как). Но в любом случае у меня остаётся открытым вопрос. Вот если я захочу потом всё-таки в импульсном пространстве работать, что мне делать с этим уродцем? Можно ли как-то хитренько от него избавиться? У меня, повторюсь, была идея просто переопределить поле с $\varphi \rightarrow \varphi + a t$, тогда вот это противное слагаемое формально уйдёт. Но делать мне это не хочется по самым разным причинам.

А вот сказать, что это слагаемое, хотя и расходящееся, но является константой, поэтому из действия можно выбросить, - это уже совсем перебор наглости? :)

[amon]

Gickle в сообщении #1271770 писал(а):

А вот сказать, что это слагаемое, хотя и расходящееся, но является константой, поэтому из действия можно выбросить, - это уже совсем перебор наглости? :)

С этим без бубна, по-моему, ничего не сделать. Либо надо это засунуть в перенормировку полей (читай-выкинуть), либо сделать сначала виковский поворот $t\to it$. Тогда в $e^{-S}$ этот член занулится, и при обратном развороте его не будет, но это надо аккуратно делать.

[Gickle]

amon
Угу, будем-с думать. Большое спасибо за помощь.