2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О не разбиении области посредством дуги
Сообщение30.11.2017, 15:04 


09/11/12
108
Донецк
Уважаемые коллеги ! Я давно бьюсь, но не смог, к сожалению, найти доказательство/ссылку почти очевидного, на первый взгляд, утверждения. Вот оно. Пусть $\gamma:[a, b]\rightarrow D$ - дуга (т.е., гомеоморфное отображение отрезка $[a, b]$ в область $D\subset {\Bbb R}^2$ ). Положим, как обычно, $|\gamma|:=\{x\in {\Bbb R}^2: \exists \, t\in [a, b]: \gamma(t)=x\}$ -- носитель кривой $\gamma$ в $D.$ {\bf Доказать,} что $\gamma$ не разбивает область $D,$ другими словами, доказать, что $D\setminus |\gamma|$ является областью. Кто может помочь с доказательством, либо указать ссылку на подобное утверждение ? (обратите внимание, что это не теорема Жордана, хотя и очень похоже). Заранее благодарен !

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение30.11.2017, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4904
Evgenii2012 в сообщении #1270393 писал(а):
Заранее благодарен !
Спасибо!
Посмотрите Теорему 1 на стр. 150 здесь. Это оно?

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение30.11.2017, 17:22 


09/11/12
108
Донецк
Большое спасибо, - к сожалению, нет, не совсем. Это более слабое утверждение, о том, что такая кривая не разбивает всей плоскости $D={\Bbb R}^2$. Как редуцировать это утверждение к случаю произвольной области $D\subset {\Bbb R}^2,$ не вполне понятно. В этом и проблема

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение01.12.2017, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4904
Я не тополог, но для поддержания разговора спрошу (или меня кто-то поправит).

Правильно я понимаю, что данная область гомеоморфна кругу и нам достаточно рассмотреть только область-круг? Если да, мы можем рассмотреть 2 варианта: (а) граница круга не разбивается нашей дугой; (б) граница круга разбивается дугой. Не можем ли мы как-то просто прийти к противоречию в каждом из этих пунктов? Разбиение через границу можно убрать за счёт плоскости снаружи, а разбиение внутри означало бы противоречие с разбиением плоскости. Где нас ожидают трудности на этом пути?

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение01.12.2017, 00:58 


09/11/12
108
Донецк
Нет, область не обязана быть гомеоморфна кругу, к тому же, даже между областями, конформно эквивалентными кругу, нет непрерывного граничного соответствия. Для круга эта задача решается довольно просто, по крайней мере, определённая схема решения прослеживается. В самом деле, пусть $D$ --
единичный круг. Нам нужно доказать, что произвольные точки $x, y\in D\setminus \gamma$ можно соединить кривой $\alpha$ в $D\setminus \gamma.$ Если воспользоваться Вашей ссылкой на книгу, то сразу можно получить кривую $\alpha$, соединяющую соответствующие точки области $x, y\in D\setminus \gamma$ в ${\Bbb R}^2.$ Если такая кривая $\alpha$ a priori лежит во множестве $ D\setminus \gamma,$ доказывать нечего. Пусть теперь последнее не выполнено, тогда $\alpha$ не менее одного раза пересекает единичную сферу. В таком случае, рассматривая $\varepsilon$-раздутие единичной окружности $A_{\varepsilon}=\{\varepsilon<|x|<1\}$, лежащее в $D,$ мы можем заменить <<плохой участок>> кривой $\alpha$ участком, лежащим в этом раздутии. Число $\varepsilon,$ при этом, следует подбирать так, чтобы дуга $\gamma$ не попала в это раздутие -- этого всегда можно добиться, так как $\gamma$ -- компакт в $D.$ Вот, собственно и всё. Однако, для произвольной области подобные рассуждения не пройдут, поскольку граница произвольной области $D$ может иметь чрезвычайно сложную структуру. Давайте подумаем над решением вместе

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение01.12.2017, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4904
Evgenii2012 в сообщении #1270558 писал(а):
Нет, область не обязана быть гомеоморфна кругу
Конечно. Простите, какую-то глупость сказал. Но тогда ответьте, пожалуйста, на такой вопрос: а есть ли аналог теоремы Жордана для произвольной области? (Что простая замкнутая кривая, лежащая внутри области, разбивает эту область на две части?)

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение01.12.2017, 01:14 


09/11/12
108
Донецк
Если мы сможем ответить на этот ключевой вопрос, то мы решим задачу (или подберёмся весьма близко, по крайней мере). Интернет и имеющаяся под рукой литература по этому поводу ничего не сообщают, к сожалению. Тем не менее, утверждение (вероятно) является верным

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение01.12.2017, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4904
Evgenii2012 в сообщении #1270565 писал(а):
Тем не менее, утверждение (вероятно) является верным
Моя интуиция здесь совещательного голоса не имеет, сами понимаете. Но с учётом сложностей доказательства обычной теоремы, вряд ли можно рассчитывать, что это будет простое упражнение. Трудно поверить, что эту задачу никто не пытался смотреть. (Я тоже не нашёл -- на русском пока.)

Можно подождать немного, и если здесь не будет идей, пойти с вопросом на math.SE или сразу на MO (там очень много людей, кто-то да слышал).

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение01.12.2017, 20:52 


09/11/12
108
Донецк
grizzly, я очень благодарен Вам за участие. Будем думать над задачей вместе (на простоту решения я и не рассчитывал, так как простые утверждения вполне способен осилить самостоятельно)

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение01.12.2017, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4904
Evgenii2012
Меня это заинтересовало (уж не знаю, почему), так что я поискал источники и на английском. Нашёл на MO задачу типа такой, но только для круга. Там на неё никто не ругался. Ваша точно будет интересна.

Перерыл с десяток разных первоисточников на английском (см. здесь -- эта ссылка попалась мне сегодня дважды в хороших местах) -- никаких следов. Впрочем, я просматриваю по диагонали (и не всегда есть текстовка в сканах) мог пропустить. Думать мне над этим нечем, увы, -- это нужно разбирать разные доказательства (а их много) и смотреть, нельзя в Вашем случае как-то их использовать. Упомянутую в начале сообщения задачу в комментариях назвали самой стандартной для алгебраической топологии -- может, нужно смотреть в эти книги.

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение02.12.2017, 06:19 
Заслуженный участник


14/10/14
509
Известно, что диких дуг на плоскости не бывает (в том числе что для любой дуги есть гомеоморфизм плоскости, который переводит её в отрезок), а тогда вроде всё получается.

https://mathoverflow.net/questions/57766/why-are-there-no-wild-arcs-in-the-plane

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение02.12.2017, 08:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4777
По поводу отсутствия диких дуг -- есть ещё такой текст, достаточно подробный

http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

Начиная со страницы 64.

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение02.12.2017, 21:34 


18/01/15
221
Вот как можно свести к случаю, когда область --- вся плоскость.

Пусть $x,y\in D\setminus|\gamma|$. Существует путь $\tau$ в ${\mathbb R}^2$ из $x$ в $y$, не пересекающий $|\gamma|$. Пусть $\rho$ --- минимальное расстояние между $|\gamma|$ и $|\tau|$. Для каждой точки $x\in|\gamma|$ выберем какой-нибудь выпуклый многоугольник диаметра $<\rho/2$, содержащийся в $D$ и содержащий $x$ внутри. По компактности $|\gamma|$, во множестве всех таких многоугольников есть конечное подмножество, покрывающее $|\gamma|$. Пусть $E$ --- объединение внутренностей многоугольников из этого подмножества. Тогда $\partial E$ состоит из конечного числа отрезков и лежит в $D$. Теперь из наглядных соображений (которые применимы в силу того, что имеем ломаные, а не какие-то патологические кривые) ясно, что $\partial E$ состоит из конечного числа замкнутых несамопересекающихся ломаных $C_0, \ldots, C_l$, (или из одной ломаной), причем все $C_1,\ldots,C_l$ лежат внутри $C_0$, а друг в друге не лежат.

Из построения ясно, что любая точка из $\overline E$ лежит на расстоянии $\leq\rho/2$ от $|\gamma|$. Значит, $|\tau|$ не пересекает $\overline E$. Поэтому или обе $x$, $y$ лежат снаружи от $C_0$, или обе внутри некоторой (одной и той же) $C_k$.

Будем считать, что обе вне $C_0$ (случай, когда обе внутри $C_k$, рассматривается аналогично). Возьмем $z\in|\gamma|$. Существует ломаная, обозначим ее $\alpha$, из $x$ в $z$, лежащая целиком внутри $D$. Ясно, что первая точка на этой ломаной, принадлежащая $\partial E$, лежит на $C_0$. Обозначим эту точку $x_1$. Участок $\alpha$ от $x$ до $x_1$ --- это ломаная $\beta_1$ из $x$ в $x_1$, лежащая в $D$ и за исключением точки $x_1$ лежащая снаружи от $C_0$. Поэтому она не пересекает $|\gamma|$. Аналогично, есть такая же ломаная из $y$ в некоторую точку $y_1\in C_0$. Пусть $\delta$ --- путь по $C_0$ из $x_1$ в $y_1$. Тогда путь $\beta_2^{-1}\delta\beta_1$ --- искомый.

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение03.12.2017, 23:02 


09/11/12
108
Донецк
Большое спасибо за исчерпывающие ответы. Все три версии вроде бы достаточно убедительны. Странно, что при такой исчерпывающей информации в литературе не обнаружено непосредственно само утверждение, и это единственное, что смущает

 Профиль  
                  
 
 Re: О не разбиении области посредством дуги
Сообщение04.12.2017, 02:41 


18/01/15
221
Evgenii2012,
я думаю, что в литературе оно вполне может где-нибудь быть, только не как самостоятельный результат, а как лемма к чему-то более существенному и конкретному. А где уж оно конкретно находится, если так --- этого, ясно, знать нельзя, разве что случайно. Если оно нужно в статье --- нет другого пути, кроме как написать самому, несмотря на то, что где-то оно уже наверное есть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group