О не разбиении области посредством дуги

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги ! Я давно бьюсь, но не смог, к сожалению, найти доказательство/ссылку почти очевидного, на первый взгляд, утверждения. Вот оно. Пусть $\gamma:[a, b]\rightarrow D$ - дуга (т.е., гомеоморфное отображение отрезка $[a, b]$ в область $D\subset {\Bbb R}^2$ ). Положим, как обычно, $|\gamma|:=\{x\in {\Bbb R}^2: \exists \, t\in [a, b]: \gamma(t)=x\}$ -- носитель кривой $\gamma$ в $D.$ {\bf Доказать,} что $\gamma$ не разбивает область $D,$ другими словами, доказать, что $D\setminus |\gamma|$ является областью. Кто может помочь с доказательством, либо указать ссылку на подобное утверждение ? (обратите внимание, что это не теорема Жордана, хотя и очень похоже). Заранее благодарен !

[grizzly]

Evgenii2012 в сообщении #1270393 писал(а):

Заранее благодарен !

Спасибо!
Посмотрите Теорему 1 на стр. 150 здесь. Это оно?

[Evgenii2012]

Большое спасибо, - к сожалению, нет, не совсем. Это более слабое утверждение, о том, что такая кривая не разбивает всей плоскости $D={\Bbb R}^2$. Как редуцировать это утверждение к случаю произвольной области $D\subset {\Bbb R}^2,$ не вполне понятно. В этом и проблема

[grizzly]

Я не тополог, но для поддержания разговора спрошу (или меня кто-то поправит).

Правильно я понимаю, что данная область гомеоморфна кругу и нам достаточно рассмотреть только область-круг? Если да, мы можем рассмотреть 2 варианта: (а) граница круга не разбивается нашей дугой; (б) граница круга разбивается дугой. Не можем ли мы как-то просто прийти к противоречию в каждом из этих пунктов? Разбиение через границу можно убрать за счёт плоскости снаружи, а разбиение внутри означало бы противоречие с разбиением плоскости. Где нас ожидают трудности на этом пути?

[Evgenii2012]

Нет, область не обязана быть гомеоморфна кругу, к тому же, даже между областями, конформно эквивалентными кругу, нет непрерывного граничного соответствия. Для круга эта задача решается довольно просто, по крайней мере, определённая схема решения прослеживается. В самом деле, пусть $D$ --
единичный круг. Нам нужно доказать, что произвольные точки $x, y\in D\setminus \gamma$ можно соединить кривой $\alpha$ в $D\setminus \gamma.$ Если воспользоваться Вашей ссылкой на книгу, то сразу можно получить кривую $\alpha$, соединяющую соответствующие точки области $x, y\in D\setminus \gamma$ в ${\Bbb R}^2.$ Если такая кривая $\alpha$ a priori лежит во множестве $ D\setminus \gamma,$ доказывать нечего. Пусть теперь последнее не выполнено, тогда $\alpha$ не менее одного раза пересекает единичную сферу. В таком случае, рассматривая $\varepsilon$-раздутие единичной окружности $A_{\varepsilon}=\{\varepsilon<|x|<1\}$, лежащее в $D,$ мы можем заменить <<плохой участок>> кривой $\alpha$ участком, лежащим в этом раздутии. Число $\varepsilon,$ при этом, следует подбирать так, чтобы дуга $\gamma$ не попала в это раздутие -- этого всегда можно добиться, так как $\gamma$ -- компакт в $D.$ Вот, собственно и всё. Однако, для произвольной области подобные рассуждения не пройдут, поскольку граница произвольной области $D$ может иметь чрезвычайно сложную структуру. Давайте подумаем над решением вместе

[grizzly]

Evgenii2012 в сообщении #1270558 писал(а):

Нет, область не обязана быть гомеоморфна кругу

Конечно. Простите, какую-то глупость сказал. Но тогда ответьте, пожалуйста, на такой вопрос: а есть ли аналог теоремы Жордана для произвольной области? (Что простая замкнутая кривая, лежащая внутри области, разбивает эту область на две части?)

[Evgenii2012]

Если мы сможем ответить на этот ключевой вопрос, то мы решим задачу (или подберёмся весьма близко, по крайней мере). Интернет и имеющаяся под рукой литература по этому поводу ничего не сообщают, к сожалению. Тем не менее, утверждение (вероятно) является верным

[grizzly]

Evgenii2012 в сообщении #1270565 писал(а):

Тем не менее, утверждение (вероятно) является верным

Моя интуиция здесь совещательного голоса не имеет, сами понимаете. Но с учётом сложностей доказательства обычной теоремы, вряд ли можно рассчитывать, что это будет простое упражнение. Трудно поверить, что эту задачу никто не пытался смотреть. (Я тоже не нашёл -- на русском пока.)

Можно подождать немного, и если здесь не будет идей, пойти с вопросом на math.SE или сразу на MO (там очень много людей, кто-то да слышал).

[Evgenii2012]

grizzly, я очень благодарен Вам за участие. Будем думать над задачей вместе (на простоту решения я и не рассчитывал, так как простые утверждения вполне способен осилить самостоятельно)

[grizzly]

Evgenii2012
Меня это заинтересовало (уж не знаю, почему), так что я поискал источники и на английском. Нашёл на MO задачу типа такой, но только для круга. Там на неё никто не ругался. Ваша точно будет интересна.

Перерыл с десяток разных первоисточников на английском (см. здесь -- эта ссылка попалась мне сегодня дважды в хороших местах) -- никаких следов. Впрочем, я просматриваю по диагонали (и не всегда есть текстовка в сканах) мог пропустить. Думать мне над этим нечем, увы, -- это нужно разбирать разные доказательства (а их много) и смотреть, нельзя в Вашем случае как-то их использовать. Упомянутую в начале сообщения задачу в комментариях назвали самой стандартной для алгебраической топологии -- может, нужно смотреть в эти книги.

[Slav-27]

Известно, что диких дуг на плоскости не бывает (в том числе что для любой дуги есть гомеоморфизм плоскости, который переводит её в отрезок), а тогда вроде всё получается.

https://mathoverflow.net/questions/57766/why-are-there-no-wild-arcs-in-the-plane

[g______d]

По поводу отсутствия диких дуг -- есть ещё такой текст, достаточно подробный

http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

Начиная со страницы 64.

[vpb]

Вот как можно свести к случаю, когда область --- вся плоскость.

Пусть $x,y\in D\setminus|\gamma|$. Существует путь $\tau$ в ${\mathbb R}^2$ из $x$ в $y$, не пересекающий $|\gamma|$. Пусть $\rho$ --- минимальное расстояние между $|\gamma|$ и $|\tau|$. Для каждой точки $x\in|\gamma|$ выберем какой-нибудь выпуклый многоугольник диаметра $<\rho/2$, содержащийся в $D$ и содержащий $x$ внутри. По компактности $|\gamma|$, во множестве всех таких многоугольников есть конечное подмножество, покрывающее $|\gamma|$. Пусть $E$ --- объединение внутренностей многоугольников из этого подмножества. Тогда $\partial E$ состоит из конечного числа отрезков и лежит в $D$. Теперь из наглядных соображений (которые применимы в силу того, что имеем ломаные, а не какие-то патологические кривые) ясно, что $\partial E$ состоит из конечного числа замкнутых несамопересекающихся ломаных $C_0, \ldots, C_l$, (или из одной ломаной), причем все $C_1,\ldots,C_l$ лежат внутри $C_0$, а друг в друге не лежат.

Из построения ясно, что любая точка из $\overline E$ лежит на расстоянии $\leq\rho/2$ от $|\gamma|$. Значит, $|\tau|$ не пересекает $\overline E$. Поэтому или обе $x$, $y$ лежат снаружи от $C_0$, или обе внутри некоторой (одной и той же) $C_k$.

Будем считать, что обе вне $C_0$ (случай, когда обе внутри $C_k$, рассматривается аналогично). Возьмем $z\in|\gamma|$. Существует ломаная, обозначим ее $\alpha$, из $x$ в $z$, лежащая целиком внутри $D$. Ясно, что первая точка на этой ломаной, принадлежащая $\partial E$, лежит на $C_0$. Обозначим эту точку $x_1$. Участок $\alpha$ от $x$ до $x_1$ --- это ломаная $\beta_1$ из $x$ в $x_1$, лежащая в $D$ и за исключением точки $x_1$ лежащая снаружи от $C_0$. Поэтому она не пересекает $|\gamma|$. Аналогично, есть такая же ломаная из $y$ в некоторую точку $y_1\in C_0$. Пусть $\delta$ --- путь по $C_0$ из $x_1$ в $y_1$. Тогда путь $\beta_2^{-1}\delta\beta_1$ --- искомый.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за исчерпывающие ответы. Все три версии вроде бы достаточно убедительны. Странно, что при такой исчерпывающей информации в литературе не обнаружено непосредственно само утверждение, и это единственное, что смущает

[vpb]

Evgenii2012,
я думаю, что в литературе оно вполне может где-нибудь быть, только не как самостоятельный результат, а как лемма к чему-то более существенному и конкретному. А где уж оно конкретно находится, если так --- этого, ясно, знать нельзя, разве что случайно. Если оно нужно в статье --- нет другого пути, кроме как написать самому, несмотря на то, что где-то оно уже наверное есть.