Одномерный квантовый гармонический осциллятор

[StaticZero]

$$ \hat H = - \dfrac{\hbar^2}{2 m} \dfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} + \dfrac{m \omega^2 x^2}{2}. $$

$$ \hat H \psi = - \dfrac{\hbar^2}{2 m} \psi_{xx} + \dfrac{m \omega^2 x^2 \psi}{2} = E \psi. $$

$$ x = y \sqrt{\dfrac{\hbar}{m \omega}}. $$

$$ E \psi = -\dfrac{\hbar^2}{2 m} \dfrac{m \omega}{\hbar} \psi_{yy} + \dfrac{m \omega^2 y^2}{2} \dfrac{\hbar}{m \omega} \psi = - \dfrac{\hbar \omega}{2} \left(\psi_{yy} - y^2 \psi \right). $$

$$ \psi_{yy} - y^2 \psi + \dfrac{2 E}{\hbar \omega} \psi = 0. $$

$$ \psi = \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi. $$

$$ \psi_{yy} = y^2 \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi - 2 y \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_y + \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_{yy}. $$

$$ \psi_{yy} - y^2 \psi = y^2 \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi - 2 y \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_y + \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_{yy} - y^2 \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi. $$

$$ \psi_{yy} - y^2 \psi + \dfrac{2 E}{\hbar \omega} \psi = \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \left[\varphi_{yy} - 2 y \varphi_y + \dfrac{2 E}{\hbar \omega} \varphi\right]. $$

Как известно, $E = \hbar \omega \left(n + \dfrac{1}{2} \right)$. Тогда получается уравнение

$$ \varphi_{yy} - 2 y \varphi_y + (2n + 1) \varphi = 0. $$

Но уравнение Эрмита другое:

$$ f_{xx} - 2 x f_x + 2n f = 0. $$

Где я накосячил? Решение для волновой функции на этом месте уже должно описываться многочленами Эрмита, а тут порядок полуцелый...

[AnatolyBa]

Не понял, чему равна вторая производная от $\exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) $ ?
(дальше не смотрел)

[StaticZero]

AnatolyBa в сообщении #1271517 писал(а):

$\exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) $ ?

Первая $-y \exp \left(-\dfrac{y^2}{2} \right)$. Ага. Вторая будет $(y^2 -1)\exp \left(-\dfrac{y^2}{2} \right)$, у меня там просто $y^2$ перед экспонентой.

Тогда получается

$$ \psi_{yy} = (y^2 -1) \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi - 2 y \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_y + \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_{yy}. $$

$$ \psi_{yy} - y^2 \psi = -\exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi - 2 y \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_y + \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_{yy}. $$

$$ \psi_{yy} - y^2 \psi + \dfrac{2 E}{\hbar \omega} \psi = \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \left[-\varphi + \varphi_{yy} - 2 y \varphi_y + \dfrac{2 E}{\hbar \omega} \varphi\right]. $$

$$ \varphi_{yy} - 2 y \varphi_y + 2n \varphi = 0. $$

Решение — полином Эрмита $H_{n}$ для уровня энергии $E_n = \hbar \omega \left(n + \dfrac{1}{2} \right)$. Вроде правильно. Спасибо.

(Оффтоп)

А дифференцировать я так и не научился.