2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Одномерный квантовый гармонический осциллятор
Сообщение03.12.2017, 18:59 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
$$
\hat H = - \dfrac{\hbar^2}{2 m} \dfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} + \dfrac{m \omega^2 x^2}{2}.
$$
$$
\hat H \psi = - \dfrac{\hbar^2}{2 m} \psi_{xx} + \dfrac{m \omega^2 x^2 \psi}{2} = E \psi.
$$
$$
x = y \sqrt{\dfrac{\hbar}{m \omega}}.
$$
$$
E \psi = -\dfrac{\hbar^2}{2 m} \dfrac{m \omega}{\hbar} \psi_{yy} + \dfrac{m \omega^2 y^2}{2} \dfrac{\hbar}{m \omega} \psi = - \dfrac{\hbar \omega}{2} \left(\psi_{yy} - y^2 \psi \right).
$$
$$
\psi_{yy} - y^2 \psi + \dfrac{2 E}{\hbar \omega} \psi = 0.
$$
$$
\psi = \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi.
$$
$$
\psi_{yy} = y^2  \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi - 2 y  \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_y +  \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_{yy}.
$$
$$
\psi_{yy} - y^2 \psi = y^2  \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi - 2 y  \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_y +  \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_{yy} - y^2 \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi.
$$
$$
\psi_{yy} - y^2 \psi + \dfrac{2 E}{\hbar \omega} \psi = \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \left[\varphi_{yy} - 2 y \varphi_y + \dfrac{2 E}{\hbar \omega} \varphi\right].
$$
Как известно, $E = \hbar \omega \left(n + \dfrac{1}{2} \right)$. Тогда получается уравнение
$$
\varphi_{yy} - 2 y \varphi_y + (2n + 1) \varphi = 0.
$$
Но уравнение Эрмита другое:
$$
f_{xx} - 2 x f_x + 2n f = 0.
$$
Где я накосячил? Решение для волновой функции на этом месте уже должно описываться многочленами Эрмита, а тут порядок полуцелый...

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерный квантовый гармонический осциллятор
Сообщение03.12.2017, 19:20 
Заслуженный участник


21/09/15
704
Не понял, чему равна вторая производная от $\exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) $ ?
(дальше не смотрел)

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерный квантовый гармонический осциллятор
Сообщение03.12.2017, 19:29 
Аватара пользователя


22/06/12
1056
AnatolyBa в сообщении #1271517 писал(а):
$\exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) $ ?

Первая $-y \exp \left(-\dfrac{y^2}{2} \right)$. Ага. Вторая будет $(y^2 -1)\exp \left(-\dfrac{y^2}{2} \right)$, у меня там просто $y^2$ перед экспонентой.

Тогда получается
$$
\psi_{yy} = (y^2 -1)  \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi - 2 y  \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_y +  \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_{yy}.
$$
$$
\psi_{yy} - y^2 \psi =  -\exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi - 2 y  \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_y +  \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \varphi_{yy}.
$$
$$
\psi_{yy} - y^2 \psi + \dfrac{2 E}{\hbar \omega} \psi = \exp \left( - \dfrac{y^2}{2} \right) \left[-\varphi + \varphi_{yy} - 2 y \varphi_y + \dfrac{2 E}{\hbar \omega} \varphi\right].
$$
$$
\varphi_{yy} - 2 y \varphi_y + 2n \varphi = 0.
$$
Решение — полином Эрмита $H_{n}$ для уровня энергии $E_n = \hbar \omega \left(n + \dfrac{1}{2} \right)$. Вроде правильно. Спасибо.

(Оффтоп)

А дифференцировать я так и не научился. :facepalm:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group