2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Параллельный перенос
Сообщение02.12.2017, 14:54 


18/10/16
32
Имеются векторные поля $X_1 = x \partial_x +  \partial_y, X_2 = -
 \partial_x + x \partial_y$. Положим $\bigtriangledown_XY=(\partial_x {\eta}^i) X_i$, если $Y = \eta^i X_i$ (1), Докажите, что результат параллельного переноса вектора из одной точки в другую не зависит от пути.

--
Начну из далека, так как не могу разобраться в этой теме. Правильно ли я понимаю, что $\partial_x, \partial_y$ являются базисами векторных полей $X_1, X_2$?

Для того, чтобы доказать, что перенос не зависит от пути, насколько я понял, нужно доказать, что $\bigtriangledown_XY=0$. Возьмём в формуле (1) за $\eta^i = c^i$, где $c^i = const$. Потом нужно подставить всё это в ковариантную производную. А что в данном случае означает $\partial_x$ - это просто частная производная или как раз таки базис?

--
Заранее всем большое спасибо! Очень хочется понять, что к чему относится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение02.12.2017, 15:50 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
PalmDesert в сообщении #1271044 писал(а):
Положим $\bigtriangledown_XY=(\partial_x {\eta}^i) X_i$, если $Y = \eta^i X_i$
Чтобы эта формула была осмысленной, надо, чтобы $\nabla_X Y$ зависело от поля $X$ (которое произвольно). Но в правой части я не вижу зависимости от $X$, если только не предположить: здесь вместо $\partial_x$ должно быть $\partial_X$, то есть оператор производной от скалярной функции по направлению поля $X$:
$\partial_X f=Xf=X^k\partial_k f$
Тогда, между прочим, параллельный перенос действительно не будет зависеть от пути.

Но это никак не дифференцирование по тому $x$, которое в $X_1 = x \partial_x +  \partial_y, X_2 = - \partial_x + x \partial_y$.
PalmDesert в сообщении #1271044 писал(а):
насколько я понял, нужно доказать, что $\bigtriangledown_X Y=0$.
Нет, этого для произвольных $X, Y$ никогда не будет.
PalmDesert в сообщении #1271044 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что $\partial_x, \partial_y$ являются базисами векторных полей $X_1, X_2$?
$\partial_x, \partial_y$ — векторные поля, которые образуют координатный базис... но не векторных полей $X_1, X_2$! Просто базис. Векторные поля $X_1, X_2$ образуют другой базис.
(Конечно, если Ваше многообразие двумерно.)
PalmDesert в сообщении #1271044 писал(а):
А что в данном случае означает $\partial_x$ - это просто частная производная или как раз таки базис?
Каждое векторное поле отождествляется с оператором дифференцирования (скалярных функций). Если в области $U$ введены координаты $(x^i)$, то операторы дифференцирования по координатам $\partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}$ называются координатными векторными полями, которые образуют координатный базис. Далеко не каждый базис является координатным, то есть получается указанным способом из некоторого набора координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение02.12.2017, 16:59 


18/10/16
32
svv
Спасибо за столь развернутый ответ! Сейчас я попробую понять, чего я не понимаю и сформулировую вопрос...

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение02.12.2017, 18:10 


18/10/16
32
svv
Правильно ли я понимаю, что если подробно распишу коваринатную производную (исходя из этого определения: \bigtriangledown_XY=(\partial_X {\eta}^i) X_i), то должен получить следующее:
\bigtriangledown_XY = (X^k \partial_k \eta^1)X_1 + (X^j \partial_j \eta^2)X_2 = (X^1 \partial_x \eta^1 + X^2 \partial_y \eta^1)X_1 + (X^1 \partial_x \eta^2 + X^2 \partial_y \eta^2)X_2 = (x \partial_x \eta^1 + \partial_y \eta^1)(x \partial_x + \partial_y) + (- \partial_x \eta^2 + x \partial_y \eta^2)(- \partial_x + x \partial_y) и дальше нужно раскрыть скобки и взять соответсвутющие производные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение03.12.2017, 05:20 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Если верно, что под $\partial_x$ понималась производная по направлению векторного поля $X$, тогда возможен такой, очень простой подход.

В условии говорится о параллельном переносе вдоль пути. Путь из точки $a$ в точку $b$ многообразия — это гладкая кривая $\gamma(t),\; t\in[0,1]$, такая, что $\gamma(0)=a, \gamma(1)=b$. В каждой точке кривой определён касательный вектор $V=\frac d{dt}$. Вектор $Y$ перенесён вдоль кривой параллельно, если $\nabla_V Y=0$ (ещё раз повторю, что это неверно для произвольных полей). В соответствии с условием, это означает $(\partial_V {\eta}^i) X_i=0$, откуда $\eta^i=\operatorname{const}$ вдоль кривой.

Продолжите рассуждение самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение03.12.2017, 13:31 


18/10/16
32
svv, извините, не совсем понимаю, что ещё нужно дальше доказывать, если Вы показали, что будет параллельный перенос при \eta^i = const, то есть векторное поле Y = \eta^i X_i - есть произвольная линейная комбинация X_1, X_2, и, скорее всего, \eta_1, \eta_2 одновременно не равны нулю.

-- 03.12.2017, 13:39 --

svv
Или мне теперь нужно проверить, что векторы (X_1)_p, (X_2)_p задают параллелизацию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение03.12.2017, 15:21 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Несколько замечаний.

Не обязательно представлять, что поле $Y$ задано на всём многообразии или в некоторой его области. Считайте, что изначально никакого $Y$ нет.
Независимость параллельного переноса от пути означает вот что. Берём произвольные точки $a, b$. В точке $a$ задаём произвольный вектор $Y(0)$. Соединяем $a$ и $b$ гладкой кривой $\gamma$, выбирая параметризацию $t$ так, чтобы $\gamma(0)=a, \gamma(1)=b$. Переносим $Y(0)$ параллельно вдоль кривой, получая в каждой её точке $\gamma(t)$ однозначно определённый вектор $Y(\gamma, t)$, а в точке $b$ — вектор $Y(\gamma, 1)$.
Далее соединяем те же точки $a$ и $b$ другой гладкой кривой $\zeta$, переносим тот же $Y(0)$ параллельно вдоль $\zeta$ и получаем в точке $b$ вектор $Y(\zeta, 1)$.

Вопрос: совпадут ли векторы $Y(\gamma, 1)$ и $Y(\zeta, 1)$? Ответ: для этого нет никаких оснований. В общем случае — нет.

Однако, если каким-то чудом для любых $a$ и $b$, для любых кривых, их соединяющих, и для любого «начального» вектора $Y(0)$ в точке $a$ такое совпадение будет, то говорят: параллельный перенос не зависит от пути.

Вот я и хотел, чтобы Вы объяснили, по какой причине в данном случае конечный результат переноса не зависит от пути, то есть $Y(\gamma, 1)=Y(\zeta, 1)=Y(\eta, 1)=...$

Ответ такой. Заданное по условию правило параллельного переноса приводит к следующему. Если в точке $a$ выбран вектор $Y(0)=\eta^i X_i|_a$, то результат его переноса в точке $b$ имеет вид
$Y(1)=\eta^i X_i|_b$
(значения коэффициентов $\eta^i$ те же). Правая часть формулы очевидным образом не зависит от выбора кривой, она определяется только выбором точек $a$, $b$ и вектора $Y(0)$ в точке $a$.

Контрольный вопрос (трудный). Где в решении использовано $X_1 = x \partial_x +  \partial_y, X_2 = - \partial_x + x \partial_y$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение03.12.2017, 16:36 


18/10/16
32
svv, фактически, сами значения векторных полей не использовались нигде. Параллельность переноса вытекает из данного в условии определения линейной связности. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение03.12.2017, 16:41 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да, так.
Но есть один тонкий момент. Чтобы из условия $(\partial_V {\eta}^i) X_i=0$ в некоторой точке $p$ следовало более простое условие $\partial_V {\eta}^i=0$, нужно, чтобы векторы $X_i|_p$ были какими?

(Оффтоп)

линейно независимыми
А как мы можем доказать это свойство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение03.12.2017, 16:49 


18/10/16
32
svv, нужно доказать, что они образую базис, то есть произведение Ли не равно нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение03.12.2017, 17:08 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Нет, тут смешано несколько разных вещей.

Мы сейчас выбрали на кривой $\gamma$ одну точку $p=\gamma(t)$ и работаем только с ней. Полей никаких нет, есть касательное векторное пространство $T_pM$.
Мы знаем, что если $(x^i)$ — набор $n$ координат (а не каких попало функций), то векторы $\partial_i=\frac{\partial}{\partial x^i}$ линейно независимы в каждой точке $p$ и их набор образует базис в $T_pM$. Теперь мы от них переходим к системе векторов $X_k = (\partial_i) P^i_k$ (скобки тут означают, что дифф.оператор не действует на $P^i_k$, а правильный матричный порядок я менять не хочу), где коэффициенты $P^i_k$ составляют матрицу перехода:
$\begin{bmatrix}X_1&X_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\partial_x&\partial_y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x&-1\\1&x\end{bmatrix}$
Определитель этой матрицы равен $x^2+1$, что никогда не равно нулю. В таком случае из линейной независимости $\partial_i$ следует линейная независимость $X_i$ в $T_pM$.

Совершенно другой вопрос — являются ли поля (уже поля) $X_i$ координатными? Это определяется тем, коммутируют они или нет. Пусть существуют координаты $(\xi^i)$ такие, что $X_i=\frac{\partial}{\partial\xi^i}$. Тогда, конечно, было бы
$X_i X_k f=\frac{\partial}{\partial\xi^i}\frac{\partial}{\partial\xi^k}f=\frac{\partial}{\partial\xi^k}\frac{\partial}{\partial\xi^i}f=X_k X_i f$
Следовательно, если наши $X_1, X_2$ не коммутируют, таких координат не существует. Простая проверка показывает, что они действительно не коммутируют:
$(x \partial_x +  \partial_y)(- \partial_x + x \partial_y)\neq (- \partial_x + x \partial_y)(x \partial_x +  \partial_y)$,
и базис $(X_1, X_2)$ является некоординатным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение03.12.2017, 17:17 


18/10/16
32
svv, а то что они не коммутируют и есть как следствие, что их произведение Ли не равно нулю, или нет?

-- 03.12.2017, 17:22 --

svv, заранее хочу поблагодарить за столь развернутые ответы! Огромное спасибо!
У меня есть ещё пару вопросов про геодезические свзяности, уместно ли их будет задать здесь или создать новую тему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение03.12.2017, 17:25 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Я знаю производную Ли и скобку Ли, термин «произведение Ли» мне не встречался. Если Вы имеете в виду скобку Ли
$Z=[X_1,X_2]$, если $Zf=X_1X_2f-X_2X_1f$ для любой $f$,
то да, очевидно, равенство её нулю означает, что $X_1$ и $X_2$ коммутируют.

-- Вс дек 03, 2017 16:26:58 --

PalmDesert в сообщении #1271462 писал(а):
уместно ли их будет задать здесь или создать новую тему?
Обычно модераторы рекомендуют в таких случаях начинать новую тему, можно попросить их уточнить (я прошу :-) ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение03.12.2017, 17:27 


18/10/16
32
Да да, опечатался. Производная Ли. Извиняюсь :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельный перенос
Сообщение03.12.2017, 17:33 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да, производная Ли тоже сюда легко «присобачивается», потому что $\mathcal L_{X_1} X_2=[X_1, X_2]$. Но прозрачнее со скобкой Ли — её связь с коммутированием/некоммутированием очевидна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group