2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойство волновой функции в трансл. инв. системах.
Сообщение02.12.2017, 13:55 
Аватара пользователя


09/02/14

11
В АГД на стр. 80-81 встретил следующее свойство ВФ:
$$
\psi_{nm}(r) = \psi_{nm}(0) e^{-ip_{nm}r}, \thinspace\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace p_{nm} = p_n - p_m
$$
которое следует из
$$
\psi(r) = e^{-ipr} \psi(0) e^{ipr},
$$
где $p$ - оператор импульса.

1) Вывести его из того, как предлагают в 3 томе ЛЛ, не вышло. Если кто-то может показать откуда оно берется, буду признателен.
2) Если рассмотреть последнее выражение, то на первый взгляд оно выглядит как ВФ = опертатор $\times$ ВФ $\times$ оператор. Понятно, что ВФ вторично-квантованная, тогда, видимо, и оператор $p$ надо брать в таком представлении, и, таким образом, в данном случае все будет ок в формуле? Можно ли записать $p$, как нечто вроде $p = A\psi + B\psi^\dagger$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство волновой функции в трансл. инв. системах.
Сообщение02.12.2017, 16:41 
Заслуженный участник


29/09/14
871
$\psi(0)$ — оператор поля, относящийся к точке $\mathbf{r}_0=0$ (он рождает или уничтожает частицы в точке $0).$ Оператор превращает состояния системы $|m\rangle$ в какие-то другие состояния $|n\rangle$ этой системы:

$|n\rangle = \psi(0) \, |m\rangle \, .$

Дальнейшее рассуждение складывается из нескольких самостоятельных сюжетиков:


1. Пусть $T$ — унитарный оператор (тогда существует обратный ему оператор: $T^{-1}=T^+).$ Вставим в указанном выше равенстве между $\psi(0)$ и $|m\rangle$ единичный оператор $1=T^{-1}T:$

$|n\rangle = \psi(0)\, T^{-1}T\,|m\rangle.$

Применим к левой и правой стороне этого равенства оператор $T.$ Результат можно записать так:

$T|n\rangle =(T \psi(0)T^{-1})\, T |m\rangle.$

Это общий результат: если состояния $|...\rangle$ были связаны каким-то оператором $\psi,$ то преобразованные состояния $T|...\rangle$ связаны оператором $T\psi T^{-1}.$



2. Пусть в роли оператора $T$ выступает оператор пространственного переноса системы на произвольный вектор $\mathbf{r}$ относительно начала отсчёта координат (такой перенос это то же самое, что перенос начала отсчёта координат на $(-\mathbf{r})$ относительно изучаемой физической системы). Тогда, как объяснено в ЛЛ-3, этот оператор выражается через оператор импульса $\mathbf{p},$ действующий на состояния системы:

$T=e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}}$

(в системе единиц с $\hbar =1).$

После такого переноса оператор поля, действоваший на систему до переноса в точке $0,$ имеет смысл оператора поля, действующего на систему в точке $\mathbf{r}.$ Другими словами, выполняется равенство:

$T\psi(0)T^{-1}=\psi (\mathbf{r}).$



3. Пусть система пространственно однородна (параллельный перенос является её преобразованием симметрии). Гамильтониан пространственно однородной системы коммутирует с оператором импульса $\mathbf{p},$ поэтому собственные состояния $|k\rangle$ гамильтониана могут быть выбраны в виде состояний с определённым импульсом $\mathbf{p}_k:$

$\mathbf{p}|k\rangle = \mathbf{p}_k|k\rangle \, .$

Тогда эти состояния будут собственными и для операторов $T=e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}}$ c произвольным $\mathbf{r}:$

$T|k\rangle =e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_k}|k\rangle \, ,$



4. Найдём матричные элементы оператора поля $\psi(\mathbf{r})$ по таким состояниям $|k\rangle$ (ниже вместо $k$ пишем $m$ или $n):$

$\psi_{nm}(\mathbf{r}) =\langle n|\,\psi(\mathbf{r})\,|m\rangle = \langle n|\,T\psi(0)T^{-1}\,|m\rangle \, .$

Учтём, что:

$T^{-1}|m\rangle =e^{i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_m}|m\rangle \, ,$

$\langle n|T \, = \, \langle T^+n| \,= \, \langle T^{-1}n| =(e^{i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_n})^* \,\langle n| \, ,$

$(e^{i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_n})^*\, e^{i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_m} = e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_n}\, e^{i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_m} = e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_{nm}} \, ,$

(где $\mathbf{p}_{nm} = \mathbf{p}_n-\mathbf{p}_m \, ),$

$\langle n|\,\psi(0)\,|m\rangle = \psi_{nm}(0) \, .$

Таким образом:

$\psi_{nm}(\mathbf{r})= \psi_{nm}(0) \, e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_{nm}} \, .$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group