Свойство волновой функции в трансл. инв. системах.

[Sentient]

В АГД на стр. 80-81 встретил следующее свойство ВФ:

$$ \psi_{nm}(r) = \psi_{nm}(0) e^{-ip_{nm}r}, \thinspace\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace p_{nm} = p_n - p_m $$

которое следует из

$$ \psi(r) = e^{-ipr} \psi(0) e^{ipr}, $$

где $p$ - оператор импульса.

1) Вывести его из того, как предлагают в 3 томе ЛЛ, не вышло. Если кто-то может показать откуда оно берется, буду признателен.
2) Если рассмотреть последнее выражение, то на первый взгляд оно выглядит как ВФ = опертатор $\times$ ВФ $\times$ оператор. Понятно, что ВФ вторично-квантованная, тогда, видимо, и оператор $p$ надо брать в таком представлении, и, таким образом, в данном случае все будет ок в формуле? Можно ли записать $p$, как нечто вроде $p = A\psi + B\psi^\dagger$?

[Cos(x-pi/2)]

$\psi(0)$ — оператор поля, относящийся к точке $\mathbf{r}_0=0$ (он рождает или уничтожает частицы в точке $0).$ Оператор превращает состояния системы $|m\rangle$ в какие-то другие состояния $|n\rangle$ этой системы:

$|n\rangle = \psi(0) \, |m\rangle \, .$

Дальнейшее рассуждение складывается из нескольких самостоятельных сюжетиков:


1. Пусть $T$ — унитарный оператор (тогда существует обратный ему оператор: $T^{-1}=T^+).$ Вставим в указанном выше равенстве между $\psi(0)$ и $|m\rangle$ единичный оператор $1=T^{-1}T:$

$|n\rangle = \psi(0)\, T^{-1}T\,|m\rangle.$

Применим к левой и правой стороне этого равенства оператор $T.$ Результат можно записать так:

$T|n\rangle =(T \psi(0)T^{-1})\, T |m\rangle.$

Это общий результат: если состояния $|...\rangle$ были связаны каким-то оператором $\psi,$ то преобразованные состояния $T|...\rangle$ связаны оператором $T\psi T^{-1}.$



2. Пусть в роли оператора $T$ выступает оператор пространственного переноса системы на произвольный вектор $\mathbf{r}$ относительно начала отсчёта координат (такой перенос это то же самое, что перенос начала отсчёта координат на $(-\mathbf{r})$ относительно изучаемой физической системы). Тогда, как объяснено в ЛЛ-3, этот оператор выражается через оператор импульса $\mathbf{p},$ действующий на состояния системы:

$T=e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}}$

(в системе единиц с $\hbar =1).$

После такого переноса оператор поля, действоваший на систему до переноса в точке $0,$ имеет смысл оператора поля, действующего на систему в точке $\mathbf{r}.$ Другими словами, выполняется равенство:

$T\psi(0)T^{-1}=\psi (\mathbf{r}).$



3. Пусть система пространственно однородна (параллельный перенос является её преобразованием симметрии). Гамильтониан пространственно однородной системы коммутирует с оператором импульса $\mathbf{p},$ поэтому собственные состояния $|k\rangle$ гамильтониана могут быть выбраны в виде состояний с определённым импульсом $\mathbf{p}_k:$

$\mathbf{p}|k\rangle = \mathbf{p}_k|k\rangle \, .$

Тогда эти состояния будут собственными и для операторов $T=e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}}$ c произвольным $\mathbf{r}:$

$T|k\rangle =e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_k}|k\rangle \, ,$



4. Найдём матричные элементы оператора поля $\psi(\mathbf{r})$ по таким состояниям $|k\rangle$ (ниже вместо $k$ пишем $m$ или $n):$

$\psi_{nm}(\mathbf{r}) =\langle n|\,\psi(\mathbf{r})\,|m\rangle = \langle n|\,T\psi(0)T^{-1}\,|m\rangle \, .$

Учтём, что:

$T^{-1}|m\rangle =e^{i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_m}|m\rangle \, ,$

$\langle n|T \, = \, \langle T^+n| \,= \, \langle T^{-1}n| =(e^{i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_n})^* \,\langle n| \, ,$

$(e^{i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_n})^*\, e^{i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_m} = e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_n}\, e^{i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_m} = e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_{nm}} \, ,$

(где $\mathbf{p}_{nm} = \mathbf{p}_n-\mathbf{p}_m \, ),$

$\langle n|\,\psi(0)\,|m\rangle = \psi_{nm}(0) \, .$

Таким образом:

$\psi_{nm}(\mathbf{r})= \psi_{nm}(0) \, e^{-i\mathbf{r}\cdot \mathbf{p}_{nm}} \, .$