Количество элементов в бесконечном множестве

[Ivan_B]

Прошу помочь разобраться со следующим:
Зорич, страница 30:
"Отношение равномощности разбивает совокупность всех множеств на классы эквивалентных между собой множеств. Множества одного класса эквивалентности имеют одинаковое количество элементов(равномощны), а разных - разное."

страница 31:
"... класс кардинальных чисел оказывается линейно упорядоченным..."

страница 53:
"Множеством натуральных чисел называется наименьшее индуктивное множество, содержащее 1, т.е. пересечение всех индуктивных множеств, содержащих число 1."

Интуитивно я понимаю, что слово "наименьшее" подразумевает, что все числа меньше 1, не включается. Получается, что количество элементов в множествах можно сравнивать не только при помощи кардинальных чисел?

[Xaositect]

Ivan_B в сообщении #1267818 писал(а):

Интуитивно я понимаю, что слово "наименьшее" подразумевает, что все числа меньше 1, не включается.

Ни в коем случае. Имеется в виду наименьшее по включению множество, то есть индуктивное множество, содержащее 1, не имеющее собственных индуктивных подмножеств, содержащих 1.

[Ivan_B]

Кажется, что понял, проверьте, пожалуйста:

Xaositect в сообщении #1267847 писал(а):

Имеется в виду наименьшее по включению множество

В роли отношения "меньше" выступает отношение включения. Это отношение частичного порядка, поэтому сравнивать с его помощью любые множества не получится, но в данном случае минимум есть, потому что любое индуктивное множество, которое содержит $1$, содержит и $1+1$, и $1+1+1$ и т.д. Поэтому $\left\{1, 1+1, 1+1+1,...\right\}$ будет минимумом.

Xaositect в сообщении #1267847 писал(а):

индуктивное множество, содержащее 1, не имеющее собственных индуктивных подмножеств, содержащих 1.

Множество $\left\{0, 1, 1+1, ...\right\}$ имеет собственное индуктивное подмножество, содержащее $1$: ${1, 1+1, ...}, поэтому оно не подходит.

Еще один вопрос:
Зорич, стр 52:
"Множество $X \subset R$ называется индуктивным, если вместе с каждым числом $x \in X$ ему принадлежит также $x+1$." То есть, $\forall x (x \in X \Rightarrow (x+1) \in X)$, которое истинно, если $X = \varnothing$
стр 53:
"Пересечение $X = \bigcap\limits_{\alpha \in A}X_\alpha$ любого семейства индуктивных множеств $X_\alpha$, если оно не пусто, является индуктивным множеством."
Является ли пустое множество индуктивным?

[Someone]

Ivan_B в сообщении #1268104 писал(а):

Зорич, стр 52:
"Множество $X \subset R$ называется индуктивным, если вместе с каждым числом $x \in X$ ему принадлежит также $x+1$."

Определение явно неполное.

А вообще, определения, упоминающие числа, явно не теоретико-множественные. В теории множеств нет ничего, кроме множеств, поэтому определение должно говорить о множествах. Это уже потом мы можем определить арифметические операции на минимальном индуктивном множестве и интерпретировать его элементы как натуральные числа.

[Ivan_B]

Someone в сообщении #1268129 писал(а):

Определение явно неполное.

В Зориче есть еще одно, которое дано раньше(стр 33): "... множество назовем индуктивным, если оно содержит в качестве элемента пустое множество и последователь любого своего элемента." Далее говорится, что $N_0$ можно определить как пересечение индуктивных множеств. Это более точное определение? На текущем этапе обучения представления о том, что что-то такое есть достаточно?

[arseniiv]

Да, это определение индуктивного множества годится. А наименьшее из них по включению и пересечение их всех — одно и то же (проверьте!).

[Ivan_B]

arseniiv в сообщении #1268247 писал(а):

А наименьшее из них по включению и пересечение их всех — одно и то же (проверьте!).

Пересечение множеств принадлежит каждому из пересекаемых множеств. Если пересечение совпадает с одним из пересекаемых множеств, это множество принадлежит каждому из оставшихся множеств, то есть меньше каждого из них по включению. А вот с доказательством у меня проблема. Не знаю как к нему подступиться. Первая проблема - это то, что нужно доказать, что пересечение всех индуктивных множеств не пустое. Но даже если предположить, что оно не пустое, дальше продвинутся не получается: нужно от $ \bigcap M := \left\{x \in \bigcup M | \forall X ((X \in M) \Rightarrow (x \in X)) \right\}$ перейти к $\forall X ((X \in M) \Rightarrow (\bigcap M \subset X))$, зная что $(A \subset B) := \forall x ((x \in A) \Rightarrow (x \in B))$

[Someone]

Ivan_B в сообщении #1268703 писал(а):

Пересечение множеств принадлежит каждому из пересекаемых множеств.

Не "принадлежит каждому", а "содержится в каждом". Оно ведь является не элементом, а подмножеством.

Ivan_B в сообщении #1268703 писал(а):

Первая проблема - это то, что нужно доказать, что пересечение всех индуктивных множеств не пустое.

Ну уж прямо проблема… Определение индуктивного множества вспомните. В нём указан элемент, который заведомо принадлежит пересечению.

[arseniiv]

Аксиома бесконечности как раз постулирует существование хотя бы одного индуктивного множества $I$, и коль скоро мы уже определили предикат «$s$ — индуктивное», мы сможем написать «$x$ — элемент каждого индуктивного множества» и выделить им из $I$ интересующее пересечение.

[Ivan_B]

arseniiv в сообщении #1268865 писал(а):

Аксиома бесконечности как раз постулирует существование хотя бы одного индуктивного множества $I$, и коль скоро мы уже определили предикат «$s$ — индуктивное», мы сможем написать «$x$ — элемент каждого индуктивного множества» и выделить им из $I$ интересующее пересечение.

У меня почти получилось, но не до конца:
План:
1 построить минимальное по включению множество, выделив из некоторого индуктивного множества подмножество, все элементы которого принадлежат всем индуктивным множествам
2 показать, что полученное множество - индуктивное
3 показать, что полученное множество совпадает с пересечением всех индуктивных множеств

1 Согласно аксиоме бесконечности существует некоторое индуктивное множество $A$. Если свойство индуктивности обозначить $I$, то используя аксиому выделения можно построить множество $N = \left\{x \in A | \forall X (I(X) \Rightarrow x \in X) \right\}$
2 Исходя из того, как построено $N, $ $\forall x (x \in A \wedge \forall X (I(X) \Rightarrow x \in X) \Leftrightarrow x \in N)$. По определению пустое множество принадлежит любому индуктивному множеству, откуда $\varnothing \in N$ Пусть $x \in N$, тогда $\forall X (I(X) \Rightarrow x \in X)$ По определению индуктивного множества $\forall X (I(X) \wedge x \in X \Rightarrow x^+ \in X)$ Поскольку истинность $I(X)$ делает истинным $x \in X$, $I(X) \wedge x \in X$ можно заменить на $I(X)$, тогда $\forall X (I(X) \Rightarrow x^+ \in X)$ Поскольку $A$ индуктивное $x^+ \in A$, тогда воспользовавшись $\forall x (x \in A \wedge \forall X (I(X) \Rightarrow x \in X) \Leftrightarrow x \in N)$, получается что $x^+ \in N$ Значит $N$ - индуктивное множество.
3 По определению $ \bigcap M := \left\{x \in \bigcup M | \forall X ((X \in M) \Rightarrow (x \in X)) \right\}$ Поскольку $N$ - индуктивное, каждый элемент пересечения всех индуктивных множеств $x \in N_0$ принадлежит $N$. Если обозначить множество всех индуктивных множеств $M$, то $\forall x (x \in A \Rightarrow x \in \bigcup M)$. Подставив это в $\forall x (x \in A \wedge \forall X (I(X) \Rightarrow x \in X) \Leftrightarrow x \in N)$ получается $\forall x(x \in N \Rightarrow (x \in \bigcup M \wedge \forall X (I(X) \Rightarrow x \in X)))$, учитывая что $\forall x (x \in N_0 \Leftrightarrow x \in \bigcup M \wedge \forall X ((X \in M)\Rightarrow (x \in X)))$ получается что $\forall x (x \in N \Rightarrow x \in N_0)$ Согласно аксиоме объемности $N=N_0$

Проблема, которая осталась - это то как построить множество всех индуктивных множеств, чтобы пересечение и объединение всех индуктивных множеств были определены. Можно применять аксиому пары, к полученной паре применять аксиому объединения, из результата и некоторого индуктивного множества опять строить пару и снова применять аксиому объединения и так далее. Но так получится построить только объединение любого количества индуктивных множеств, а не всех. Если бы получилось построить объединение всех индуктивных множеств, то к нему можно было бы применить аксиому множества подмножеств и из результата по аксиоме выделения выбрать все индуктивные подмножества, получив множество индуктивных множеств.

[arseniiv]

Ivan_B в сообщении #1270479 писал(а):

Проблема, которая осталась - это то как построить множество всех индуктивных множеств, чтобы пересечение и объединение всех индуктивных множеств были определены.

А такого множества и нет, есть только класс (опять, можете попробовать доказать, что это не множество, но для построений это не важно). Назовём его $\mathcal I$. Пересечение всех его элементов является множеством, потому что $\bigcap\mathcal I = A\cap\bigcap\mathcal I$, т. к. $A\in\mathcal I$, а аксиома выделения говорит, что пересечение любого класса с множеством — тоже множество.

[Ivan_B]

arseniiv в сообщении #1270493 писал(а):

аксиома выделения говорит, что пересечение любого класса с множеством — тоже множество

Это уже выходит за рамки того, что дано в Зориче, поэтому буду переходить к следующей теме.
Огромное спасибо за Ваши ответы!

Someone в сообщении #1268799 писал(а):

Не "принадлежит каждому", а "содержится в каждом". Оно ведь является не элементом, а подмножеством.

Сам бы я эту разницу заметил очень нескоро, если бы вообще заметил! Спасибо!

[arseniiv]

Ivan_B в сообщении #1270502 писал(а):

Это уже выходит за рамки того, что дано в Зориче, поэтому буду переходить к следующей теме.

Ой, я немного забылся.