Сечение сферы

[stupid-student]

Здравствуйте! Есть сфера, хочу ее пересечь плоскостью, проходящей через диаметр. Ясно дело, что кривая пересечения - окружность.
Собственно вопрос: как получить уравнение этой пространственной кривой?
Вот сфера и плоскость, которой секу:
$\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \\ z = l\cdot y \end{matrix}\right.$
Если подставлю одно в другое, то получу:
$x^2+y^2(1+l^2)=a^2$
Несложно догадаться, что это эллипс, а так как мы в пространстве, то цилиндр с сечением в виде этого эллипса. Или все-таки это и есть уравнение этой пространственной кривой? Могу параметризовать:
$\left\{\begin{matrix} y=t \\ z=l\cdot t \\ x = \pm\sqrt{a^2-t^2(1+l^2)} \end{matrix}\right.$
Это оно? Вопрос, возможно, глупый, но что-то в голове не укладывается.

[gris]

Вы получили уравнение проекции вашей кривой на плоскость $xy$. В сечении — окружность, а в проекции — эллипс. А первоначальная система двух уравнений и описывает вашу окружность. Вторая система тоже описывает, только надо задать отрезок значений для параметра.

[provincialka]

stupid-student в сообщении #1270159 писал(а):

как получить уравнение этой пространственной кривой?

А как вообще можно задать пространственную кривую? Какими уравнениями, какими способами?

[fred1996]

stupid-student
Если у вас есть одно уравнение, связывающее координаты в 3D, то в общем невырожденном случае это будет уравнением какой-нибудь поверхности. Пространственная кривая, опять же в невырожденном случае может быть задана как пересечение двух поверхностей. То есть двумя уравнениями. Так что ничего страшного в вашем изначальном представлении нет. Вопрос стоит только в том, чтобы выбрать наиболее простые уравнения поверхностей. В вашем варианте сложно придумать что-то более простое чем сфера и плоскость.
Ну и второй вариант вы тоже продемонстрировали - параметрическое задание координат. Для пространственной кривой это будет один параметр. В вашем варианте пожалуй покрасивее будет использование тринонометрических функций с некоторым обобщенным угловым параметром. Подумайте как.
Ну а для поверхности придется использовать два параметра.

[Null]

Я бы сделал так: ввел на секущей плоскости ортонормированную систему координат и написал уравнение сечения в ней.

[fred1996]

Null
При этом вам все-равно придется в дополнение к уравнению $x'^2+y'^2=a^2$ в явном виде написать уравнение секущей плоскости типа $z'=0$ и кроме того задать матрицу поворота

$$\begin{pmatrix} 1 & 0& 0\\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha\\ 0 & \sin\alpha& \cos\alpha \end{pmatrix}$$

Здесь $\tg\alpha=l$

[Brukvalub]

Сфера задается двумя угловыми параметрами в сферической с.к., а уравнение плоскости связывает эти параметры, оставляя свободным только один из них. Так нетрудно получить параметрические уравнения сечения. Или параметризовать полученную проекцию, а затем поднять результат на сферу.

[stupid-student]

Brukvalub, fred1996

Вот, тогда у меня выйдет параметрическое уравнение кривой с одним угловым параметром. А нельзя никак оставить оба угловых параметра, но зато чтобы кривая задавалась одним уравнением их связывающим?

Вот например такая сфера:
$\left\{\begin{matrix} x = a\cdot\cos(\theta)\cos(\lambda) \\ y = a\cdot\cos(\theta)\sin(\lambda) \\ z = a\cdot\sin(\theta) \end{matrix}\right.$
Тогда вот будет кривая:
$\left\{\begin{matrix} x = \pm\sqrt{l^2-\tg^2(\theta)}\cdot\frac{a}{l}\cdot\cos(\theta) \\ y = \frac{a}{l}\cdot\sin(\theta) \\ z = a\cdot\sin(\theta) \end{matrix}\right.$
А мне было бы идеально не такую систему, а одно уравнение через $\theta$ и $\lambda$.

[svv]

stupid-student в сообщении #1270348 писал(а):

А мне было бы идеально не такую систему, а одно уравнение через $\theta$ и $\lambda$.

Если я Вас правильно понял, для этого достаточно в уравнении плоскости $z=\ell y$ выразить декартовы координаты через сферические. Но не забывайте, что окружность (то есть именно кривая, а не поверхность) получится, лишь если добавить ещё одно уравнение: $r=a$.

[arseniiv]

stupid-student
А чем параметрическое векторное уравнение, например, плохо? И вообще зачем может понадобиться единственное представление? У разных разные плюсы.

[stupid-student]

arseniiv
Мне нужно найти геодезическую кривизну этой кривой. Для этого нужно брать производные $\lambda$ по $\theta$ (ну или наоборот)
Да, я могу и так ее найти, используя и параметрическую запись, но тогда придется параметризовать ее натуральным параметром, там ужасные вычисления, которые не упрощаются :(

[svv]

Параметрическое уравнение окружности (с натуральным параметром $s$):
$\mathbf r(s)=\mathbf r_0+a\mathbf p_1\cos\frac{s}{a}+a\mathbf p_2\sin\frac{s}{a}$
Здесь $\mathbf r_0$ — радиус-вектор центра окружности, $a$ — радиус окружности, $\mathbf p_1, \mathbf p_2$ — единичные векторы, лежащие в плоскости окружности, ортогональные друг другу.

stupid-student в сообщении #1270383 писал(а):

Да, я могу и так ее найти, используя и параметрическую запись, но тогда придется параметризовать ее натуральным параметром

Не обязательно. Есть формула $k_g=\dfrac{(\mathbf n, \dot{\mathbf r}, \ddot{\mathbf r})}{|\dot{\mathbf r}|^3}$, где $\mathbf r$ зависит от произвольного параметра $t$.
Если всё-таки используете натуральную параметризацию, формула упрощается до $k_g=(\mathbf n, \mathbf r', \mathbf r'')$. Здесь
$\mathbf n$ — единичный вектор нормали к поверхности,
точки — производные по произвольному параметру $t$,
штрихи — производные по натуральному параметру $s$,
$(\cdot,\cdot,\cdot)$ — смешанное произведение.

[stupid-student]

svv
Так. В моем случае все центры лежат в начале координат, поэтому $\mathbf r_{0} = 0$, все окружности проходят через ось $\mathbf x$ (в смысле все плоскости, в которых лежат все эти окружности), поэтому $\mathbf p_{1}$ можно взять $(1, 0, 0)$, $\mathbf p_{2}$ можно взять $(0, \frac{1}{\sqrt{1+l^2}}, \frac{l}{\sqrt{1+l^2}})$. И что тогда, $\mathbf r(s) = (a\cdot\cos(\frac{s}{a}), \frac{a\cdot\sin(\frac{s}{a})}{\sqrt{1+l^2}}, \frac{l\cdot a\cdot\sin(\frac{s}{a})}{\sqrt{1+l^2}}$)?

[svv]

stupid-student в сообщении #1270434 писал(а):

В моем случае все центры лежат в начале координат, поэтому $\mathbf r_{0} = 0$, все окружности проходят через ось $\mathbf x$

В таком случае Вы можете мгновенно сказать, чему равна геодезическая кривизна.

[stupid-student]

svv
Да я знаю, что большие круги - геодезические. По заданию нужно это доказать.
Я верно составил выражение радиус вектора?