Почти неоднородный Гурвиц

[RIP]

Пусть $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, $\beta\in\mathbb{R}$. Докажите, что найдутся $n\in\mathbb{N}$, $m\in\mathbb{Z}$, такие что

\[ \lvert\alpha n+\beta+m\rvert<\frac{1}{n\sqrt{5}}. \]

[vicvolf]

Данное неравенство можно записать в виде:
$5n^2(\alpha n+\beta+m)^2-1<0$.

или

$(\sqrt {5}\alpha n^2+ \sqrt {5}(\beta+m)n +1)(\sqrt {5}\alpha n^2+ \sqrt {5}(\beta+m)n-1)<0$.

Приравняем к 0 и найдем корни:
$n_{1,2}=-(\beta+m)/2\alpha +- \sqrt {(\beta+m)^2/4\alpha-1/\sqrt{5}\alpha}$.
$n_{3,4}=-(\beta+m)/2\alpha +- \sqrt {(\beta+m)^2/4\alpha+1/\sqrt{5}\alpha}}$.

Следовательно, $\alpha$ должно быть кратно $1/\sqrt {5}$.

Поэтому $n>0$ принимает натуральные значения на интервалах:
$n_1 <n <n_3, n_2<n< n_4$.

[DeBill]

(Оффтоп)

Ой! ОЙ! ООЙ! ОЁЁЁЙ! Упс....

(Оффтоп)

Нет слов. Токо междуметия.

[vicvolf]

(Оффтоп)

Подставился специально Интересная задача! Поставлена давно, но решений нет!
Хотелось бы получить правильное решение от автора

[Markiyan Hirnyk]

Насколько я понимаю, это следует из теоремы Бореля.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1269035 писал(а):

Насколько я понимаю, это следует из теоремы Бореля.

Вы намекаете на то, что в названии темы не зря упомянут Гурвиц? Звучит логично. А как следует, не подскажете?

[Markiyan Hirnyk]

Процитирую GAA

Цитата:

Это форум. В общем случае здесь приводятся идеи решения/доказательства (хотя бы уже потому, что у участника может просто не быть времени на подробное изложение). На будущее. Старайтесь, по возможности, не разжигать флейм и не писать излишне часто сообщения в тему, а самостоятельно восстановить недостающие детали доказательства и задавать вопросы только в том случае, если длительные попытки не привели к успеху.

из этой темы.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk
Спасибо! Могу ли я понять Ваш ответ так, что у Вас пока нет идей доказательства? (Мой вопрос был как раз по теме -- я думал ранее над этой теоремой, но не смог продвинуться в доказательстве, надеялся на Вашу подсказку.)

[Markiyan Hirnyk]

grizzly
Пожалуйста, покажите форуму результаты ваших длительных попыток. Я неукоснительно придерживаюсь указаний GAA. Успехов!

[g______d]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1269067 писал(а):

Могу ли я понять Ваш ответ так, что у Вас пока нет идей доказательства?

Думаю, да. Я его понял именно так.

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1269051 писал(а):

Вы намекаете на то, что в названии темы не зря упомянут Гурвиц?

Да, верно - теорема Гурвица. Почти, потому что не для всех m, n, а неоднородный, так как есть $\beta$.

[sup]

Я думаю, что хитроумный RIP подготовил небольшую ловушку.
Все дело в слове "найдутся". Это значит, что в отличие от т. Гурвица, решений может быть не слишком много.
Я позволю себе немножко изменить вид задачи. Для $x, \beta > 0$ найдутся $n > 0$ и $m$

$$ n|nx - \beta - m| \leqslant \frac{1}{\sqrt 5}. $$

Ясно, что без ограничения общности $0 < x, \beta < 1$. Более того, можно считать, что $\beta \leqslant 1/2$, иначе переходим к паре $1 - x, 1 - \beta$.

Во-первых, как мне кажется, задание стоит "развернуть". Мы не будем искать $n,m$, а напротив, будем накрывать интервал $(0,1)$ отрезками вида

$$ J_{nm} = \left( \frac{m + \beta}{n} - \frac{1}{\sqrt 5 n^2}, \, \, \, \frac{m + \beta}{n} + \frac{1}{\sqrt 5 n^2} \right) $$

Легко проверить, что при "малых" $\beta$ уже отрезки $J_{10}, J_{11}, J_{21}$ накрывают интервал $(0,1)$. Так что результат может быть где-то совсем рядом. Заряжаем компьютер и ... Оказывается, что проблемы возникают лишь для малых $x$. Но с ними можно бороться очень простым способом.
Положим

$$ \beta / x = n + \varepsilon, \quad |\varepsilon| < 1/2. $$

Тогда

$$ n|nx - \beta| = n|\varepsilon x| < nx/2 = (\beta - \varepsilon x) / 2. $$

Следовательно, наше неравенство будет заведомо выполнено, если

$$ \beta + x / 2 \leqslant \frac{2}{\sqrt 5}. $$

Отсюда видно, что "малые" $x$ проблем не создают. К сожалению, еще остаются неразобранные случаи, так что это еще не решение. Но, думаю, что на этом пути задачу уже можно "дожать".

(Оффтоп)

Во всяком случае комп. программа вроде как нашла все нужные накрытия.

[grizzly]

sup в сообщении #1269902 писал(а):

комп. программа вроде как нашла все нужные накрытия.

Ваш подход позволяет в принципе улучшить константу $\displaystyle \frac1 {\sqrt {5}}?$

[sup]

Ну, по идее, ДА. Ведь корень в компе-то совсем даже не корень. Честно скажу, я не доводил до "честного" доказательства с помощью ЭВМ.

Изначально, я вообще думал, что вопрос сводится к "паре-тройке" проверок руками. Быстро и на пальцах не получилось. Написал программку. Обнаружил проблемы при $\frac{1}{\sqrt 5} < \beta < 1 - \frac{1}{\sqrt 5}$. Для этих $\beta$ поиск накрытия "в лоб" зависал для малых $x$ и близких к $1$. (Кстати, в тексте выше - косяк. Проблемы возникают и при $x \approx 1$. А я забыл об этом упомянуть.).
После этого я решил отдельно рассмотреть случай малых $x$. Обнаружил простое неравенство. Ну а для остальных случаев программка дает накрытие. Сейчас вижу, что случай $x \approx 1$ не разобран. Но если с ним разобраться, то вроде как получается улучшение константы $\frac{1}{\sqrt 5}$.

В сухом остатке. Идея есть, результата нет.

[grizzly]

sup
Спасибо и сорри за расплывчатый вопрос. Я просто независимо от Вашего решения думал над вопросом, насколько этот Гурвиц "почти". Я бы не очень удивился, если бы можно было получить константу 1/3, например. Этими сомнениями и был вызван мой вопрос.