Почти неоднородный Гурвиц

[sup]

Ну вот, к примеру, "классика", $\beta = 0$. Как я уже упоминал

sup в сообщении #1269902 писал(а):

Легко проверить, что при "малых" $\beta$ уже отрезки $J_{10}, J_{11}, J_{21}$ накрывают интервал $(0,1)$.

Отсюда уже легко получить константу лучше $\frac{1}{\sqrt 5}$ именно для этого случая. А вот для всех-всех $\beta$, надо настраивать программку. Но, лень, честно сказать. Я хотел лишь принципиально разобраться, а погоня за точным результатом не предусматривалась.

[g______d]

sup в сообщении #1269902 писал(а):

Во-первых, как мне кажется, задание стоит "развернуть".

Я не решил задачу, но, возможно, два следующих комментария могут чем-то помочь.

1) То доказательство оригинального Гурвица, которое я видел (возможно, Вы тоже), доказывается именно с помощью такой "развёртки". При этом кратность покрытия бесконечна и даже есть количественное описание -- любая точка покрывается либо одной из окрестностей (правильного размера) члена ряда Фарея $\mathcal F_k$, либо, если нет, то окрестностью медианты двух соседних членов (которая появится не позже $\mathcal F_{2k}$). Нужно доказать это в более слабом варианте, но со сдвигом на $\beta$, который у меня не получился.

Вот, например, какие-то лекции на эту тему, страница 4 (книги мне было лень искать).

http://kam.mff.cuni.cz/~klazar/ln_utc.pdf

2) Множество всех $\beta$, удовлетворяющих условию при фиксированном $\alpha$, открыто, поэтому достаточно рассматривать $\beta$, для которых одно из неравенств является равенством. Получаем целочисленное соотношение между $\alpha$, $\beta$, и $\sqrt{5}$, но я пока не понял, чем оно может помочь.

[sup]

Я ориентировался на доказательство из книжки Хинчина "Цепные дроби". Там доказывается, что из трех последовательных подходящих дробей как минимум одна удовлетворяет требуемому неравенству. Если ориентироваться на такой подход, то возникает необходимость анализа числителей и знаменателей таких дробей на предмет остатков по модулю знаменателя $\beta$. Например, для $\beta = 1/2$ нужно неравенство вида

$$ |\alpha - \frac{2m + 1}{2n}| \leqslant \frac{4}{\sqrt 5 (2n)^2}. $$

Т.е. нам нужны приближения дробями со спец. знаменателями. Но и неравенство соответствующим образом ослаблено. Попытки доказать существование бесконечного кол-ва решений такого неравенства сталкиваются с большими трудностями. (Впрочем, может для кого-нибудь и небольшими ). Но я обратил внимание на то, что в условии задачи требования слабее. Надо доказать лишь существование хотя бы одного решения. Но тогда скорее всего нет смысла заниматься подходящими дробями. А надо просто смотреть накрытия. Для $\beta = 0$ все получается в два действия. Соображения непрерывности по $\beta$ (как Вы и указали) позволяют проверять лишь дискретный набор $\beta$. Так что в принципе ясно, как организовать доказательные вычисления (малые $x$ и близкие к $1$ надо рассматривать отдельно). Но это, разумеется, не интересно.

Выше я привел одно простое неравенство (там все не очень строго выписано, так, только главная идея). Я думаю, что на этом пути можно и строгое доказательство найти. Надо времени побольше затратить.

[RIP]

Чтобы избавиться от ненужного $m$, введём обозначение $\lVert x\rVert=\min\limits_{a\in\mathbb{Z}}\lvert x-a\rvert=\min\bigl\{\{x\},1-\{x\}\bigr\}$. Тогда всё сводится к решению неравенства

\[n\lVert\alpha n+\beta\rVert<\dfrac{1}{\sqrt{5}}.\tag{1}\]

Ноги у этой задачи растут из результата А.Я. Хинчина, который доказал, что для любого $\varepsilon>0$ неравенство

\[n\lVert\alpha n+\beta\rVert<\frac{1+\varepsilon}{\sqrt{5}}\]

имеет бесконечно много решений $n\in\mathbb N$. Размышляя над доказательством, я заметил, что для $\varepsilon=0$ всегда можно найти одно решение, и мне это показалось интересным. По этому поводу предлагаю (простенькое) упражнение:

Задачка 1. Привести пример $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, $\beta\in\mathbb{R}$, для которых неравенство (1) имеет единственное решение.

Действительно, одно решение и бесконечно много решений — две большие разницы. Думаю, что правильная постоянная для первого случая известна, но нужно искать.

Предлагаю теперь доказать настоящего «почти неоднородного Гурвица». («Почти» — потому, что про оптимальность $\sqrt{5}$ ещё нужно думать.)

Задача 2. Пусть $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, $\beta\in\mathbb{R}$, причём $\beta\notin\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\alpha$. Докажите, что неравенство (1) имеет бесконечно много решений $n\in\mathbb{N}$.