Линейное пространство (основы плюс)

[gogoshik]

Изучаю линейную алгебру. Курс начался с определения линейного пространства и примеров линейных пространств. Была контрольная из пяти тривиальных задач. Я их решил, но более на подсознательном уровне, так как до ответов можно было и так догадаться даже среднему старшекласснику. Теперь я не понимаю, понимаю ли я на самом деле сущность линейных пространств или моя больная фантазия подогревает собственное тщеславие, заставляя двигаться вперед к вершинам линейной алгебры, оставив позади груду обрывков из аксиоматики и само собой разумеющихся иллюстраций.

Хотел бы попросить, плиз, проверить меня (и если что подсказать) на предмет понимания линейных пространств с тем уровнем серьезности, который действительно необходим математику.

[arseniiv]

Если взглянуть с категорной стороны, сущность линейных пространств [над одним и тем же полем] — в том, что можно сделать и что бывает с линейными отображениями между ними. А они не сразу после аксиоматики идут, придётся подождать (или нет, если вам сильно интересно и достаточно свободного времени, чтобы прочитать самостоятельно).

А на уровне почти сразу после аксиом ну что интересного можно спросить? Словарь понятий и примеров ещё бедный, чтобы переоткрывать что-то там в глубине — а потому и чтобы делать какие-то сильные выводы из того, получится ли у вас решить что-то нетривиальное, требующее пока ещё неизвестных определений. Так что много задач для определения понимания ожидать не стоит.

[gogoshik]

arseniiv в сообщении #1269766 писал(а):

если вам сильно интересно и достаточно свободного времени, чтобы прочитать самостоятельно

Интересно же. Спасибо. Что нужно прочитать? И все таки, что нужно понимать?

[arseniiv]

Ну, прочитать определение линейного отображения. Потом можете подумать, что интересного о них можно сказать, какие задачи придумать, какие понятия через них определить (выведя из понадобившегося для решения задач). Придумаете парочку определений, которыми действительно пользуются (это можно узнать дальше по курсу или если тут кто-то опознает) — наверно, уже весьма хорошо. Даже слишком хорошо, когда известно немногим больше, чем аксиомы. Скорее всего, вам всё-таки ничем таким не нужно париться сейчас — чуть-чуть подождите, и если начнётся непонимание, тогда будет хотя бы ясно, что спрашивать на форуме.

gogoshik в сообщении #1269768 писал(а):

И все таки, что нужно понимать?

Может, кто-то другой возьмётся ответить, я не берусь. Сказал бы, что постановка вопроса наверняка слишком широкая для его контекста.

[deep down]

Во первых, аксиоматику пропускать не надо. Она должна стать вроде таблицы умножения - глупо каждый раз выписывать, но если вдруг придётся, сделаете на автомате.
До линейных отображений ещё будет на чём проверить интуицию - определение базиса и доказетельство того, что $\mathbb{R}^n$ имеет размерность $n$. Когда дойдёте до этой теоремы, попробуйте доказать самостоятельно.