Сходимость двойного ряда

[DeBill]

StaticZero в сообщении #1269442 писал(а):

можно оценок вида

А вот я ее как раз и смотрел: если сумму заменить интегралом, получается что-то порядка $\frac{1}{\sqrt{n}}$. Оценка - монотонна, но вот гарантии монотонности самой суммы это не дает...

[amon]

Помогу, а может - помешаю. Исследуется сходимость ряда

StaticZero в сообщении #1268837 писал(а):

$$ \varphi = \sum \limits_{n = 1}^\infty \sum \limits_{m = 1}^\infty \dfrac{2 d}{J_1^2(x_m)} \dfrac{n}{\pi^2 n^2 r^2_0 + L^2 x^2_m} \cos \dfrac{\pi n z_0}{L} \sin \dfrac{\pi n z}{L} J_0 \left( \dfrac{r x_m}{r_0} \right). $$

Который есть решение уравнения

$$ \Delta \varphi = - \dfrac{d \delta(r) \delta'(z - z_0)}{2 \pi r}. $$

Сходится он, естественно, в смысле обобщенных функций. Как я понимаю, вопрос уважаемого StaticZero состоит в том, нельзя ли этому ряду приписать какую-никакую сходимость в обычном смысле. ($x_m$ - корни нулевой функции Бесселя)

[StaticZero]

amon в сообщении #1269447 писал(а):

Сходится он, естественно, в смысле обобщенных функций

Вот что такое "сходится в смысле обобщённых функций" я не знаю. Почему это естественно, видимо, тоже не пойму.

Да, интересует в обычном смысле. Я с этой дрянью сделал вот что: отбросил коэффициенты в знаменателе $\dfrac{n}{\pi^2 n^2 r^2_0 + L^2 x^2_m} \sim \dfrac{n}{n^2 + m^2}$, сделал оценку $\dfrac{1}{J^2_1(x_m)} \sim m$ при $m \to \infty$, затем воспользовался тем, что

$$ J_0(x) \sim \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \left( \sqrt{\dfrac{2}{\pi x}}\right), $$

освободившись от коэффициентов и воспользовавшись $x_m \sim \pi m$ написал $J_0 \left( \dfrac{r x_m}{r_0} \right) \sim \dfrac{1}{\sqrt{m}} \sin \dfrac{\pi m r}{r_0} $, в конечном счёте получилось

$$ \sum \limits_n \sum \limits_m \dfrac{n \sqrt m}{n^2 + m^2} \sin \dfrac{\pi m r}{r_0} \sin \dfrac{\pi n z}{L} \cos \dfrac{\pi n z_0}{L}. $$

[amon]

StaticZero в сообщении #1269451 писал(а):

Вот что такое "сходится в смысле обобщённых функций" я не знаю. Почему это естественно, видимо, тоже не пойму.

На языке рабочих и крестьян сходимость ряда $\sum$ в смысле обобщенный функций означает, что сходися $\int f\sum$ для любой финитной дифференцируемой функции $f.$ А естественно это потому, что в правой части Вашего уравнения стоит $\delta$-функция, которая обобщенная, и никак, кроме как через $\int f\delta,$ не определяемая.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1269451 писал(а):

Вот что такое "сходится в смысле обобщённых функций" я не знаю. Почему это естественно, видимо, тоже не пойму.

Ну есть вариант почитать, например, учебник Владимирова (в контексте второй темы тоже).

amon в сообщении #1269447 писал(а):

Сходится он, естественно, в смысле обобщенных функций. Как я понимаю, вопрос уважаемого StaticZero состоит в том, нельзя ли этому ряду приписать какую-никакую сходимость в обычном смысле. ($x_m$ - корни нулевой функции Бесселя)

Понятно, т. е. это поле точечного диполя. У него сингулярность только в нуле. Имеет смысл написать поле точечного диполя в декартовых координатах (выражение будет намного проще), у него будет точно такая же сингулярность, и исследовать на сходимость. По моим прикидкам, будет чуть хуже, чем $L^2$, но я сейчас не могу точно сосчитать.

[StaticZero]

А функциональный ряд

$$ f(x) = \sum \limits_{m=1}^\infty \dfrac{x \sqrt m}{x^2 + m^2} $$

не сходится ли равномерно на $[1, \infty)$? Если да, то тогда можно почленно продифференцировать и получить

$$ \dfrac{\mathrm d f}{\mathrm dx} = \sum \limits_{m=1}^\infty \sqrt m \cdot \dfrac{m^2 - x^2}{(x^2 + m^2)^2}, $$

а потом спросить, меньше ли эта сумма нуля или нет и для каких $x$. Если для всех $x > a$, то тогда, вроде бы, должно получиться, что $f(n)$ убывает по $n$ с какого-то члена и всё в шляпе...

-- 27.11.2017, 02:18 --

g______d в сообщении #1269455 писал(а):

Понятно, т. е. это поле точечного диполя. У него сингулярность только в нуле. Имеет смысл написать поле точечного диполя в декартовых координатах (выражение будет намного проще), у него будет точно такая же сингулярность, и исследовать на сходимость. По моим прикидкам, будет чуть хуже, чем $L^2$, но я сейчас не могу точно сосчитать.

В задаче дополнительный пункт — исследовать на сходимость именно то, что нарешано в цилиндрических координатах.

[amon]

StaticZero,
Возьмите решение с одинарным рядом. Там вроде попроще будет.

[DeBill]

StaticZero в сообщении #1269456 писал(а):

не сходится ли равномерно на $[1, \infty)$?

Нет. Мажорантный признак сразу отпадает. И это плохая примета...
Так что: считаем остаток ряда (сумма от $N$ до бесконечности ). Заменяя сумму интегралом, и делая замену $t=xm$ - чтобы упростить подынтегральную весчь, видим: остаток имеет порядок $x^{\frac{1}{2}}$, и не будет малым при всех $x$.

[g______d]

Кстати, мне кажется, что ряд по $n$ суммируется, поскольку сводится (после раскрытия произведения синуса на косинус) к производной от функции

$$ \sum\limits_{n}\frac{1}{n^2+a^2}\sin nx, $$

которую можно найти, решая уравнение $(-\Delta +a^2) f=\delta(x)$ на окружности, решение будет единственным в обобщённом смысле, и даже будет записываться через экспоненты, без спец. функций.

Или это и имелось в виду под одинарным рядом?

[amon]

g______d в сообщении #1269475 писал(а):

Или это и имелось в виду под одинарным рядом?

Да. Только такое решение можно получить без суммирования, разложившись по другой системе функций.

[StaticZero]

g______d в сообщении #1269475 писал(а):

Кстати, мне кажется, что ряд по $n$ суммируется, поскольку сводится (после раскрытия произведения синуса на косинус) к производной от функции

$$ \sum\limits_{n}\frac{1}{n^2+a^2}\sin nx, $$

Я не очень понял, что вообще произошло, и куда делись $m$-ки.

-- 27.11.2017, 21:10 --

Я могу предположить, что имеется ввиду функция

$$ f(x, y, z) = \sum \limits_{n=1}^\infty \sum \limits_{m=1}^\infty \dfrac{\sin (mx) \sin (ny) \cos (nz)}{m^2 + n^2} \dfrac{1}{\sqrt{m}}, $$

ряд для которой сходится равномерно по всем трём переменным и который можно дифференцировать, ну, скажем, частным образом по $z$, тогда получится

$$ \dfrac{\partial f(x, y, z)}{\partial z} = -\sum \limits_{n=1}^\infty \sum \limits_{m=1}^\infty \dfrac{n \sin (nz)}{m^2 + n^2} \dfrac{1}{\sqrt{m}} \sin (mx) \sin (ny). $$

[g______d]

StaticZero в сообщении #1269709 писал(а):

Я не очень понял, что вообще произошло, и куда делись $m$-ки.

Имелось в виду, что мы зафиксировали $m$ и рассмотрели сумму по $n$ при фиксированном $m$. Всё, что не зависит от $n$, вынесли в коэффициент. Выражение вида $\sin (ns)\cos(nt)$ записали в виде $\frac12\sin(n(s+t))+\frac12\sin(n(s-t))$, разбили на две суммы, и назвали $s+t$ в первой сумме новым параметром. $n$ в числителе получается дифференцированием по новому параметру. После выноса всех констант получится выражение вида

$$ \sum\limits_{n}\frac{1}{n^2+a^2}\sin nx, $$

где $a$ зависит от $m$ и есть ещё какие-то множители; но по $n$ этот ряд можно просуммировать и получить явную формулу для суммы, а потом продифференцировать.

Вопрос о том, как именно сходится ряд из производных, не вполне тривиален, потому что это ряд типа $\sum \frac{1}{n} \sin(nx)$, но к чему он сходится -- понятно (к пиле типа дробной части $\{x\}$, с точностью до масштабирования) и будет сходиться (не абсолютно, только условно) во всех точках непрерывности этой пилы, по условию Дини.

[amon]

StaticZero в сообщении #1269709 писал(а):

Я не очень понял, что вообще произошло, и куда делись $m$-ки.

Произошло вот что. Поменяем порядок суммирования и посмотрим на внутренний ряд (всё, что не зависит от $n$ либо вынесено во внешний ряд, либо обозначено буковками, бо ленив.

$$ \sum \limits_{n = 1}^\infty \dfrac{n}{a n^2 + b} \cos \dfrac{\pi n z_0}{L} \sin \dfrac{\pi n z}{L} . $$

Воспользуемся формулой $\cos \dfrac{\pi n z_0}{L} \sin \dfrac{\pi n z}{L} =\frac{1}{2}\left(\sin\frac{\pi n (z-z_0)}{L}+\sin\frac{\pi n (z+z_0)}{L}\right)$ получим суммы вида

$$ \sum \limits_{n = 1}^\infty \frac{n}{a n^2 + b} \sin \frac{\pi n (z\pm z_0)}{L} . $$

Заметив, что $n$ в числителе можно заработать дифференцированием по $z,$ а константу $a$ вынести, получим производную табличного ряда $ \frac{\partial}{\partial x}\sum\limits_{n}\frac{1}{n^2+c^2}\cos nx. $ Все это хорошо, пока $z\ne z_0.$ В точке $z=z_0$ один из рядов разойдется, что хорошо, так как в этом месте стоит $\delta$-функция. Корректность действий обеспечивается теоремами о рядах Фурье, которых я не помню, но которые наверняка знают g______d, DeBill и все, кого склерозом не до конца побило.

О, уже ответили, но пусть будет

[g______d]

amon в сообщении #1269724 писал(а):

кого склерозом не до конца побило

Вот, кстати, по поводу склероза (может быть, ход мыслей кому-то будет полезен), если нам лень искать ряд

$$ \sum\limits_{n}\frac{1}{n^2+a^2}\cos nx, $$

в таблице и потом дифференцировать, или решать уравнение Пуассона на окружности, то можно заметить, что почленная разность между $\sum \frac{n}{n^2+a^2}\sin nx$ и $\sum \frac{1}{n}\sin nx $ является равномерно абсолютно сходящимся рядом, поэтому достаточно исследовать сходимость второго, который является "более табличным" и который можно просто угадать.

[StaticZero]

g______d в сообщении #1269733 писал(а):

то можно заметить, что почленная разность между $\sum \frac{n}{n^2+a^2}\sin nx$ и $\sum \frac{1}{n}\sin nx $ является равномерно абсолютно сходящимся рядом, поэтому достаточно исследовать сходимость второго, который является "более табличным" и который можно просто угадать.

О, отлично.

То есть, представленными рассуждениями вопрос из стартового сообщения закрывается? Пойду курить мануалы, чтобы завершить строгое доказательство...