2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему
 
 AM-GM в упорядоченном поле
Сообщение02.11.2017, 17:08 
Заслуженный участник


26/06/07
1789
shevah school, tel-aviv
Пусть $x_i>0$ в упорядоченном поле $\mathbb F$ такие, что $x_1x_2...x_n=1$. Докажите, что:
$$x_1+x_2+...+x_n\geq n.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: AM-GM в упорядоченном поле
Сообщение02.11.2017, 17:36 
Аватара пользователя


04/10/15
222
Индукция по $n.$
При $n=1$ имеем $x_1=1 \Rightarrow x_1 \ge 1.$
Для произвольного $n,$ без потери общности будем считать, что $x_1 \ge x_2 \ge ...\ge x_n$ и $x_1x_2...x_n=1.$
То есть $x_1 \ge 1$ и $x_n \le 1,$ это нам гарантирует порядок поля. Рассмотрим набор чисел $x_1x_n, ~x_2,~ ...,~ x_{n-1},$ заметим, что их произведение равно единице и $x_1x_n > 0$, поэтому $x_1x_n+x_2+..+x_{n-1} \ge n-1,$ при этом $(x_1-1)(1-x_n) \ge 0 \Leftrightarrow x_1+x_n-x_1x_n \ge 1,$ тогда искомый результат следует из этого неравенства и предположения индукции (это нам опять же гарантирует порядок поля).

 Профиль  
                  
 
 Re: AM-GM в упорядоченном поле
Сообщение15.11.2017, 17:24 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
arqady в сообщении #1261624 писал(а):
Пусть $x_i>0$ в упорядоченном поле $\mathbb F$ такие, что $x_1x_2...x_n=1$. Докажите, что:

Так ведь любой вариант доказательства этого неравенства, записанного именно в такой форме (без корней), не использует ничего, кроме аксиом поля и порядка. Всё сводится к тому, что если сумма равна $n$ и при этом, например, $x_1<1$ и $x_2>1$, то произведение можно увеличить, заменив $x_1$ на единицу и, соответственно, $x_2$ на $\widetilde x_2=x_1+x_2-1$ (поскольку $(x_1-1)(x_2-1)<0$ и, следовательно, $x_1\cdot x_2<1\cdot(x_1+x_2-1)$). Т.е. при для сумм с фиксированным значением $n$ произведение максимально тогда и только тогда, когда все числа -- это единицы.

У Вас, правда, формулировка немного другая, но какая разница. Если предположить, что при единичном произведении сумма меньше $n$, то её можно увеличить до $n$, просто увеличив одно из чисел. Тогда произведение окажется больше единицы, что, как мы видели, невозможно. Ну или просто для Вашей формулировки заменить $x_1$ на единицу и, соответственно, $x_2$ на $\widetilde x_2=x_1x_2$, тогда окажется $1+x_1x_2<x_1+x_2$; но мне этот вариант почему-то кажется менее прозрачным.

 Профиль  
                  
 
 Re: AM-GM в упорядоченном поле
Сообщение17.11.2017, 21:06 
Заслуженный участник


26/06/07
1789
shevah school, tel-aviv
ewert
Просто нашлось доказательство AM-GM без использования корней, которое iou и Вы продемонстрировали.
Ведь бывают же и неархимедовы поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: AM-GM в упорядоченном поле
Сообщение23.11.2017, 13:54 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
arqady в сообщении #1266180 писал(а):
Ведь бывают же и неархимедовы поля.

А я разве приглашал Архимеда?

 Профиль  
                  
 
 Re: AM-GM в упорядоченном поле
Сообщение24.11.2017, 01:03 
Заслуженный участник


26/06/07
1789
shevah school, tel-aviv
Вы нет. Я имею в виду, что всякое архимедово поле вкладывается в поле действительных чисел и тогда появляются корни.

 Профиль  
                  
 
 Re: AM-GM в упорядоченном поле
Сообщение24.11.2017, 09:27 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
arqady в сообщении #1268509 писал(а):
всякое архимедово поле вкладывается в поле действительных чисел и тогда появляются корни.

Кстати, вовсе не обязательно появляются (хоть к делу это и не относится).

 Профиль  
                  
 
 Re: AM-GM в упорядоченном поле
Сообщение24.11.2017, 10:13 
Заслуженный участник


26/06/07
1789
shevah school, tel-aviv
Почему не обязательно? Это интересно! Объясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: AM-GM в упорядоченном поле
Сообщение24.11.2017, 13:03 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
Например, $\{p+q\sqrt2\colon p,q\in\mathbb Q\}$ -- оно тоже архимедово упорядоченное поле, а корней в нём нет.

Если же Вы имели в виду другое -- что корни появляются после расширения до вещественных -- так оно тоже нет. Корни появляются раньше, при расширении до алгебраических.

 Профиль  
                  
 
 Re: AM-GM в упорядоченном поле
Сообщение24.11.2017, 15:51 
Заслуженный участник


26/06/07
1789
shevah school, tel-aviv
Ну да, конечно, если оно вкладывается, то это ещё ни о чём не говорит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group