AM-GM в упорядоченном поле

[arqady]

Пусть $x_i>0$ в упорядоченном поле $\mathbb F$ такие, что $x_1x_2...x_n=1$. Докажите, что:

$$x_1+x_2+...+x_n\geq n.$$

[iou]

Индукция по $n.$
При $n=1$ имеем $x_1=1 \Rightarrow x_1 \ge 1.$
Для произвольного $n,$ без потери общности будем считать, что $x_1 \ge x_2 \ge ...\ge x_n$ и $x_1x_2...x_n=1.$
То есть $x_1 \ge 1$ и $x_n \le 1,$ это нам гарантирует порядок поля. Рассмотрим набор чисел $x_1x_n, ~x_2,~ ...,~ x_{n-1},$ заметим, что их произведение равно единице и $x_1x_n > 0$, поэтому $x_1x_n+x_2+..+x_{n-1} \ge n-1,$ при этом $(x_1-1)(1-x_n) \ge 0 \Leftrightarrow x_1+x_n-x_1x_n \ge 1,$ тогда искомый результат следует из этого неравенства и предположения индукции (это нам опять же гарантирует порядок поля).

[ewert]

arqady в сообщении #1261624 писал(а):

Пусть $x_i>0$ в упорядоченном поле $\mathbb F$ такие, что $x_1x_2...x_n=1$. Докажите, что:

Так ведь любой вариант доказательства этого неравенства, записанного именно в такой форме (без корней), не использует ничего, кроме аксиом поля и порядка. Всё сводится к тому, что если сумма равна $n$ и при этом, например, $x_1<1$ и $x_2>1$, то произведение можно увеличить, заменив $x_1$ на единицу и, соответственно, $x_2$ на $\widetilde x_2=x_1+x_2-1$ (поскольку $(x_1-1)(x_2-1)<0$ и, следовательно, $x_1\cdot x_2<1\cdot(x_1+x_2-1)$). Т.е. при для сумм с фиксированным значением $n$ произведение максимально тогда и только тогда, когда все числа -- это единицы.

У Вас, правда, формулировка немного другая, но какая разница. Если предположить, что при единичном произведении сумма меньше $n$, то её можно увеличить до $n$, просто увеличив одно из чисел. Тогда произведение окажется больше единицы, что, как мы видели, невозможно. Ну или просто для Вашей формулировки заменить $x_1$ на единицу и, соответственно, $x_2$ на $\widetilde x_2=x_1x_2$, тогда окажется $1+x_1x_2<x_1+x_2$; но мне этот вариант почему-то кажется менее прозрачным.

[arqady]

ewert
Просто нашлось доказательство AM-GM без использования корней, которое iou и Вы продемонстрировали.
Ведь бывают же и неархимедовы поля.

[ewert]

arqady в сообщении #1266180 писал(а):

Ведь бывают же и неархимедовы поля.

А я разве приглашал Архимеда?

[arqady]

Вы нет. Я имею в виду, что всякое архимедово поле вкладывается в поле действительных чисел и тогда появляются корни.

[ewert]

arqady в сообщении #1268509 писал(а):

всякое архимедово поле вкладывается в поле действительных чисел и тогда появляются корни.

Кстати, вовсе не обязательно появляются (хоть к делу это и не относится).

[arqady]

Почему не обязательно? Это интересно! Объясните, пожалуйста.

[ewert]

Например, $\{p+q\sqrt2\colon p,q\in\mathbb Q\}$ -- оно тоже архимедово упорядоченное поле, а корней в нём нет.

Если же Вы имели в виду другое -- что корни появляются после расширения до вещественных -- так оно тоже нет. Корни появляются раньше, при расширении до алгебраических.

[arqady]

Ну да, конечно, если оно вкладывается, то это ещё ни о чём не говорит.