Общее решение после замены переменных (ДУ в ЧП)

[Ser26rus]

Добрый день.
Возникла проблема с решений ДУ в частных производных.
Всё своё решение до этого момента выкладывать не вижу смысла (но если необходимо, могу написать), поскольку идет лишь приведение ДУ к каноническому виду (главные интегралы, замены переменных, вычисление частных производных). Но в конечном итоге (на начальном шаге, естественно, тоже было известно, что уравнение имеет гиперболический тип) получил данное уравнение:

$$ 21\frac{1}{3}v_{\xi\eta}-3\frac{1}{3}v_{\xi}+2v_{\eta}-\frac{5}{16}v=0. $$

Но застопорился на решении (необходимо получить общее решение), и не знаю куда копать/решать. Поскольку на занятиях рассматривали совершенно простые уравнения..

-- 21.11.2017, 19:01 --

Добавлю, пожалуй, получившуюся замену переменных (чтобы в карантин не улететь , все-таки помощь нужна)

$$ \begin{cases} \displaystyle{\xi=y+\frac{x}{3}},\\ \eta=y+3x. \end{cases} $$

[Ser26rus]

Запишем полученное уравнение в следующем виде:

$$ \frac{64}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}=\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}-2\frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{5}{16}v $$

Сделаем следующее преобразование:

$$ \frac{64}{3}\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{\partial v}{\partial \xi}\right)=\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}-2\frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{5}{16}v $$

Проинтегрируем обе части уравнения по \eta:

$$ \frac{64}{3}\int\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{\partial v}{\partial \xi}\right)d\eta=\int\left(\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}-2\frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{5}{16}v\right)d\eta $$

$$ \frac{64}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}=\int\left(\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}-2\frac{\partial v}{\partial \eta}+\frac{5}{16}v\right)d\eta $$

Меня в ту сторону понесло? Если да, то каким образом необходимо интегрировать правую часть?

[Lia]

Шпаргалка Там ближе к концу посмотрите, что с этим делать.

Но это если повезет. Привели бы Вы лучше исходную задачу (с решением), а то могли ведь и ошибиться.

[Ser26rus]

Lia в сообщении #1267719 писал(а):

Шпаргалка Там ближе к концу посмотрите, что с этим делать.

Но это если повезет. Привели бы Вы лучше исходную задачу (с решением), а то могли ведь и ошибиться.

Я бы привел, только слишком много в Latex набирать.. Я усну, наверное.. А картинкой запрещено добавлять.

[Lia]

Спите на здоровье. Понадобится - наберете.

[Ser26rus]

Lia в сообщении #1267735 писал(а):

Спите на здоровье. Понадобится - наберете.

Произвел замену, как Вы и подсказали:

$$ \displaystyle{v(\xi,\eta)=w(\xi,\eta)\cdot e^{a\xi+b\eta},} $$

$$ \displaystyle{v_{\xi}=(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta},} $$

$$ \displaystyle{v_{\eta}=(w_{\eta}+bw)\cdot e^{a\xi+b\eta},} $$

$$ \displaystyle{v_{\xi\eta}=(w_{\xi\eta}+aw_{\eta})\cdot e^{a\xi+b\eta}+b(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta},} $$

Подставил новые переменные и получилось:

$$ \frac{64}{3}w_{\xi\eta}+\frac{5}{8}w=0\hspace{30pt}(1) $$

Замечу, что коэффициенты a и b равны следующему:

$$ a=-\frac{3}{32}, b=\frac{5}{32}. $$

И здесь я, на самом деле удивился, поскольку посмотрите, что выдал Maple по решению исходного ДУ в ЧП:

$$ \displaystyle{v \left( \xi,\eta \right) ={{\rm e}^{{\frac {5\,\eta}{32}}}}{\it \_F_{1}} \left( \xi \right) +{{\rm e}^{-{\frac {3\,\xi}{32}}}}{\it \_F_{2}} \left( \eta \right)} $$

Но при решении уравнения (1), естественно, получается следующий ответ (прим. Maple):

$$ \displaystyle{f \left( \xi,\eta \right) ={\it \_C_{1}}\,{{\rm e}^{{\it \_c}_{{1}}\xi}}{ \it \_C_{2}}\,{{\rm e}^{-{\frac {15\,\eta}{512\,{\it \_c}_{{1}}}}}}} $$

И тут я не знаю, что вообще наделал, если честно.

[Lia]

Ser26rus в сообщении #1267748 писал(а):

Но при решении уравнения (1), естественно, получается следующий ответ (прим. Maple):

Нездоровый у него какой-то вид для УрЧП. Разве что, на частное решение потянет.

Ser26rus в сообщении #1267748 писал(а):

И здесь я, на самом деле удивился, поскольку посмотрите, что выдал Maple по решению исходного ДУ в ЧП:

Ну и отлично. Только подчерки эти ни к чему, для людей же пишете.
Все, что выше процитированной напоследок мной строчки, верно - кроме уравнения (1) :)
Пересчитайте. Замену аккуратно подставьте в уравнение. И все должно получиться.

[Ser26rus]

Lia в сообщении #1267755 писал(а):

Ser26rus в сообщении #1267748 писал(а):

Но при решении уравнения (1), естественно, получается следующий ответ (прим. Maple):

Нездоровый у него какой-то вид для УрЧП. Разве что, на частное решение потянет.

Ser26rus в сообщении #1267748 писал(а):

И здесь я, на самом деле удивился, поскольку посмотрите, что выдал Maple по решению исходного ДУ в ЧП:

Ну и отлично. Только подчерки эти ни к чему, для людей же пишете.
Все, что выше процитированной напоследок мной строчки, верно - кроме уравнения (1) :)
Пересчитайте. Замену аккуратно подставьте в уравнение. И все должно получиться.

Спасибо за ответ!
Сейчас всё распишу.

[Lia]

Ser26rus
Это необязательно. У себя на бумажке пересчитайте.

Пользуйтесь кнопкой "Вставка", не цитируйте лишнее. Выделяем нужное - жмем кнопку.

[Ser26rus]

Отмечу, что при вычислении канонической формы, я разделил исходное уравнение (представлено в 1 сообщении) на -1 чтобы перед второй частной производной был знак (+), это то хоть законно? А то уже сомнения по каждому вздоху

$$ \frac{64}{3}\frac{\partial^{2}v}{\partial \xi \partial \eta}-\frac{10}{3}\frac{\partial v}{\partial \xi}+2\frac{\partial v}{\partial \eta}-\frac{5}{16}v=0. $$

$$ \displaystyle{v(\xi,\eta)=w(\xi,\eta)\cdot e^{a\xi+b\eta},} $$

$$ \displaystyle{v_{\xi}=(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta},} $$

$$ \displaystyle{v_{\eta}=(w_{\eta}+bw)\cdot e^{a\xi+b\eta},} $$

$$ \displaystyle{v_{\xi\eta}=(w_{\xi\eta}+aw_{\eta})\cdot e^{a\xi+b\eta}+b(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta},} $$

$$ \frac{64}{3}\left(\displaystyle{(w_{\xi\eta}+aw_{\eta})\cdot e^{a\xi+b\eta}+b(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta}}\right)- \frac{10}{3}\displaystyle{(w_{\xi}+aw)\cdot e^{a\xi+b\eta}}+ 2\displaystyle{(w_{\eta}+bw)\cdot e^{a\xi+b\eta}}- \frac{5}{16}\displaystyle{we^{a\xi+b\eta}}= $$

$$ =\displaystyle{e^{a\xi+b\eta}}\cdot\left[\frac{64}{3}w_{\xi\eta}+\frac{64}{3}aw_{\eta}+\frac{64}{3}bw_{\xi}+ \frac{64}{3}abw-\frac{10}{3}w_{\xi}-\frac{10}{3}aw+2w_{\eta}+2bw-\frac{5}{16}w\right]= $$

$$ =\displaystyle{e^{a\xi+b\eta}}\cdot\left[\frac{64}{3}w_{\xi\eta}+\left(\frac{64}{3}a+2\right)w_{\eta}+ \left(\frac{64}{3}b-\frac{10}{3}\right)w_{\xi}+\left(\frac{64}{3}ab-\frac{10}{3}a+2b-\frac{5}{16}\right)w\right]= $$

$$ =\left[\begin{array}{l} \displaystyle{\frac{64}{3}a+2=0},\\ \displaystyle{\frac{64}{3}b-\frac{10}{3}=0}, \end{array}\right]= \left[\begin{array}{l} \displaystyle{a=-\frac{3}{32}},\\ \displaystyle{b=\frac{5}{32}}, \end{array}\right]= $$

$$ =\displaystyle{e^{-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta}}\cdot\left[\frac{64}{3}w_{\xi\eta}+0+0+\left(-\frac{64}{3}\frac{3}{32}\frac{5}{32}+\frac{10}{3}\frac{3}{32}+\frac{2\cdot5}{32}-\frac{5}{16}\right)w\right]= $$

$$ =\exp\left(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta\right)\cdot\frac{64}{3}w_{\xi\eta}. $$

-- 22.11.2017, 03:10 --

Lia в сообщении #1267759 писал(а):

Ser26rus
Это необязательно. У себя на бумажке пересчитайте.

Пользуйтесь кнопкой "Вставка", не цитируйте лишнее. Выделяем нужное - жмем кнопку.

У себя на бумажке, к сожалению, не видел уже ошибки. Когда набирал формулы - заметил! Всё, как Вы говорили, получилось . Не могли бы Вы только довести меня на данном этапе до ответа? Боюсь сейчас сделать опять ошибку.. Потому что уже не представляю, что тут нужно/можно убирать/добавлять.

[Lia]

А что тут доводить-то? Вы уравнение не забудьте написать. Его Вы должны уметь решать. То, что получится.

[Ser26rus]

Lia в сообщении #1267767 писал(а):

Его Вы должны уметь решать.

Я не совсем понимаю, нужно ли что-то делать с заменой \displaystyle{v(\xi,\eta)=w(\xi,\eta)\cdot e^{a\xi+b\eta}.
Потому что решением вот этого ДУ в ЧП u_{\xi\eta}=0 является это:

$$ u_{\xi\eta}=\Phi(\xi)+\Psi(\eta) $$

В моем случае мы должны делить на

$$ \frac{64}{3}\exp\left(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta\right) $$

Или нет... Поясните, пожалуйста.

[Lia]

Какое уравнение получилось в результате замены?

[Ser26rus]

Lia в сообщении #1267774 писал(а):

Какое уравнение получилось в результате замены?

$$ \exp\left(-\frac{3}{32}\xi+\frac{5}{32}\eta\right)\cdot\frac{64}{3}w_{\xi\eta}=0. $$

[Lia]

Ну а дальше? упростить-порешать?