2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Боголюбов, Ширков, локальность и норм. упорядоченность
Сообщение16.11.2017, 00:03 


28/08/13
521
В 23 параграфе 4 главы "Введения в теорию квантованных полей" около формулы (3) говорится, что лагранжианы, нужные для вычисления матрицы рассеяния, должны, в силу локальности, состоять из нормально упорядоченных выражений вроде $$:e\bar{\psi}(x)\gamma^m\psi(x)A_m:$$
Неясно, как связана локальность и нормальная упорядоченность, и не смог найти страницу на эту тему по оглавлению и предметному указателю в книге. Где у Боголюбова или ещё у кого про это почитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Боголюбов, Ширков, локальность и норм. упорядоченность
Сообщение16.11.2017, 07:04 


07/07/12
402
Почитайте у Вайнберга про кластерность и как нужно строить члены взаимодействия в лагранжиане чтобы удовлетворять кластерному принципу, который дает локальость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Боголюбов, Ширков, локальность и норм. упорядоченность
Сообщение20.11.2017, 01:01 


28/08/13
521
Вайнберга читаю, но параллельно возник ещё один вопрос по норм. и хрон. произведениям.
Боголюбов(и тот же Mandl) пишут, что теорему Вика легко обобщить на случай произведений с группами нормально упорядоченных множителей вида(для краткости возьму минимальные группы по 2 поля $A,B,C,D$)
$$T\{:AB::CD:\},$$
при этом требуется лишь не писать свёртки полей, входящих в одну норм. упорядоченную группу, т.е. свёртки $A$ с $B$ и $C$ с $D$. Что имеется ввиду?
Вот пусть надо вычислить $T{:\psi(x)\psi(y):}$.
Согласно вышеуказанному утверждению, для двух скалярных полей должно получиться просто
$$T{:\psi(x)\psi(y):}=:\psi(x)\psi(y):,$$ но очевидно же, что это не так. Обозначив $$\psi^+(x)=\int\frac{1}{(2\pi)^3\sqrt{2w_p}}a(p)e^{-ipx}d^3p,$$
$$\psi^-(x)=\int\frac{1}{(2\pi)^3\sqrt{2w_p}}a^\dagger(p)e^{ipx}d^3p,$$ получим
$$T\{:\psi(x)\psi(y):\}=T\{\psi^+(x)\psi^+(y)+\psi^-(x)\psi^-(y)+\psi^-(x)\psi^+(y)+\psi^-(y)\psi^+(x)\}.$$
Если $x_0>y_0,$ то тогда (переставляем местами множители в последнем слагаемом)$$T\{:\psi(x)\psi(y):\}=T\{\psi^+(x)\psi^+(y)+\psi^-(x)\psi^-(y)+\psi^-(x)\psi^+(y)+\psi^+(x)\psi^-(y)\}\neq:\psi(x)\psi(y):.$$
Или я что-то не понимаю в процедурах $T$ и $:$

 Профиль  
                  
 
 Re: Боголюбов, Ширков, локальность и норм. упорядоченность
Сообщение20.11.2017, 03:33 
Заслуженный участник


29/12/14
504
А вы не могли бы, пожалуйста, написать, что вы понимаете под нормальным упорядочением? Ну, вот в терминах ваших $\psi_{+}$ и $\psi_{-}$.

К слову, а обозначение $\psi_{+}$ с фурье-преобразованием $a(p)$ и наоборот - это чтобы людей запутать? :) Как-то более естественно всё-таки "плюсик с плюсиком", по-моему...

 Профиль  
                  
 
 Re: Боголюбов, Ширков, локальность и норм. упорядоченность
Сообщение20.11.2017, 03:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Ascold,
Попробуйте осилить первые два параграфа из книжки А.Н. Васильева "Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике". Может просветление и наступит (а может -наоборот ;).

 Профиль  
                  
 
 Re: Боголюбов, Ширков, локальность и норм. упорядоченность
Сообщение20.11.2017, 15:05 


28/08/13
521
Gickle в сообщении #1267163 писал(а):
А вы не могли бы, пожалуйста, написать, что вы понимаете под нормальным упорядочением? Ну, вот в терминах ваших $\psi_{+}$ и $\psi_{-}$.

К слову, а обозначение $\psi_{+}$ с фурье-преобразованием $a(p)$ и наоборот - это чтобы людей запутать? :) Как-то более естественно всё-таки "плюсик с плюсиком", по-моему...

Обозначение $$\psi^+(x)=\int\frac{1}{(2\pi)^3\sqrt{2w_p}}a(p)e^{-ipx}d^3p$$
связано с тем, что если подействовать на подынтегральное выражение оператором $i\partial/\partial t,$ то энергия вынесется со знаком плюс.
Нормальное упорядочивание - это такая запись оператора, когда операторы рождения стоят перед операторами уничтожения, поэтому $:\psi^+(x)\psi^-(y):=\psi^-(y)\psi^+(x),$ а остальные комбинации при этом упорядочивании не преобразуются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Боголюбов, Ширков, локальность и норм. упорядоченность
Сообщение20.11.2017, 15:26 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Ascold
Да я не сомневаюсь, что какая-то причина есть для такого обозначения. :) Просто у меня в лекциях по КТП было "плюсик с плюсиком", что как-то несколько более естественным мне кажется. Дык это, раз вы совершенно правильно сказали, что такое нормальное упорядочение, то почему у вас в выражениях что-то другое фигурирует? Вот это чему равно

$:\left(\psi_{+}(x) + \psi_{-}(x)\right) \left(\psi_{+}(y) + \psi_{-}(y)\right):\ ?

А если потом $T$-упорядочить и обратно скомпоновать в терминах $\psi(x)$, $\psi(y)$?

(Оффтоп)

amon в сообщении #1267165 писал(а):
Ascold,
Попробуйте осилить первые два параграфа из книжки А.Н. Васильева "Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике". Может просветление и наступит (а может -наоборот ;).


Как по мне, книги Васильева хороши для тех людей, кто с вопросом уже знаком. Уж больно тяжеловесно написано для первого чтения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Боголюбов, Ширков, локальность и норм. упорядоченность
Сообщение20.11.2017, 16:11 


28/08/13
521
Gickle в сообщении #1267269 писал(а):
Вот это чему равно

$:\left(\psi_{+}(x) + \psi_{-}(x)\right) \left(\psi_{+}(y) + \psi_{-}(y)\right):\ ?$

А если потом $T$-упорядочить и обратно скомпоновать в терминах $\psi(x)$, $\psi(y)$?

Нормально упорядочиваю:
$$:\left(\psi_{+}(x) + \psi_{-}(x)\right) \left(\psi_{+}(y) + \psi_{-}(y)\right):\ =\psi_{+}(x)\psi_{+}(y)+\psi_{-}(x)\psi_{+}(y)+\psi_{-}(x)\psi_{-}(y) + \psi_{-}(y)\psi_{+}(x)$$
Хронометрически упорядочиваю (пусть $x_0>y_0$):
$$T\{\psi_{+}(x)\psi_{+}(y)+\psi_{-}(x)\psi_{+}(y)+\psi_{-}(x)\psi_{-}(y) + \psi_{-}(y)\psi_{+}(x)\}= $$ $$=\psi_{+}(x)\psi_{+}(y)+\psi_{-}(x)\psi_{+}(y)+\psi_{-}(x)\psi_{-}(y) + \psi_{+}(x)\psi_{-}(y)= \psi(x)\psi(y),$$
а не $:\psi(x)\psi(y):$
В этом простейшем примере нормальное упорядочивание коммутирует последнее слагаемое, а хронометрическое - возвращает его обратно...
Васильева читаю, пока не дошёл до места, где доказывалось бы, что $T(N(ABCD))=N(ABCD).$
У меня возникло ощущение, что Боголюбов и Ширков имеют ввиду всё-таки что-то другое или с дополнительными оговорками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Боголюбов, Ширков, локальность и норм. упорядоченность
Сообщение20.11.2017, 16:22 
Заслуженный участник


29/12/14
504
Ascold
А, извиняюсь, что-то я просто неправильно прочитал, видимо, изначально. Честно говоря, я как-то до этого с такой "расширенной" теоремой Вика дел не имел, но создаётся впечатление, что имеется в виду что-то другое. Мне кажется, хорошая стратегия - посмотреть, что будет в случаях $T(:A B C:)$ и $T(:A B: :C D:)$, поскольку это вручную несложно делается. А из этого уже можно обобщить результат можно будет. После чего при желании и доказать даже нормально по индукции, наверное. :) Извиняюсь, что ввёл в заблуждение изначально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Боголюбов, Ширков, локальность и норм. упорядоченность
Сообщение20.11.2017, 16:40 


28/08/13
521
Я, кажется, понял, в чём дело - мы же расширяем теорему Вика не на какие попало произведения нормально упорядоченных групп операторов, а на входящие в S-матрицу. Там нормально упорядоченными множителями являются лагранжианы поля, относящиеся к одной точке пространства-времени, типа $$ie:\bar{\psi}(x)\gamma_\nu\psi(x)A^\nu(x)}:,$$ поэтому их не нужно переносить через друг друга при Т-упорядочивании(но нужно через другие операторы из рядом стоящих лагранжианов). Поэтому эта операция не генерирует выражений $T(ABC)=N(ABC) +$ все свёртки для А,В,С, входящих в один и тот же лагранжиан.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group