Боголюбов, Ширков, локальность и норм. упорядоченность

[Ascold]

В 23 параграфе 4 главы "Введения в теорию квантованных полей" около формулы (3) говорится, что лагранжианы, нужные для вычисления матрицы рассеяния, должны, в силу локальности, состоять из нормально упорядоченных выражений вроде

$$:e\bar{\psi}(x)\gamma^m\psi(x)A_m:$$

Неясно, как связана локальность и нормальная упорядоченность, и не смог найти страницу на эту тему по оглавлению и предметному указателю в книге. Где у Боголюбова или ещё у кого про это почитать?

[physicsworks]

Почитайте у Вайнберга про кластерность и как нужно строить члены взаимодействия в лагранжиане чтобы удовлетворять кластерному принципу, который дает локальость.

[Ascold]

Вайнберга читаю, но параллельно возник ещё один вопрос по норм. и хрон. произведениям.
Боголюбов(и тот же Mandl) пишут, что теорему Вика легко обобщить на случай произведений с группами нормально упорядоченных множителей вида(для краткости возьму минимальные группы по 2 поля $A,B,C,D$)

$$T\{:AB::CD:\},$$

при этом требуется лишь не писать свёртки полей, входящих в одну норм. упорядоченную группу, т.е. свёртки $A$ с $B$ и $C$ с $D$. Что имеется ввиду?
Вот пусть надо вычислить $T{:\psi(x)\psi(y):}$.
Согласно вышеуказанному утверждению, для двух скалярных полей должно получиться просто

$$T{:\psi(x)\psi(y):}=:\psi(x)\psi(y):,$$

но очевидно же, что это не так. Обозначив

$$\psi^+(x)=\int\frac{1}{(2\pi)^3\sqrt{2w_p}}a(p)e^{-ipx}d^3p,$$

$$\psi^-(x)=\int\frac{1}{(2\pi)^3\sqrt{2w_p}}a^\dagger(p)e^{ipx}d^3p,$$

получим

$$T\{:\psi(x)\psi(y):\}=T\{\psi^+(x)\psi^+(y)+\psi^-(x)\psi^-(y)+\psi^-(x)\psi^+(y)+\psi^-(y)\psi^+(x)\}.$$

Если $x_0>y_0,$ то тогда (переставляем местами множители в последнем слагаемом)

$$T\{:\psi(x)\psi(y):\}=T\{\psi^+(x)\psi^+(y)+\psi^-(x)\psi^-(y)+\psi^-(x)\psi^+(y)+\psi^+(x)\psi^-(y)\}\neq:\psi(x)\psi(y):.$$

Или я что-то не понимаю в процедурах $T$ и $:$

[Gickle]

А вы не могли бы, пожалуйста, написать, что вы понимаете под нормальным упорядочением? Ну, вот в терминах ваших $\psi_{+}$ и $\psi_{-}$.

К слову, а обозначение $\psi_{+}$ с фурье-преобразованием $a(p)$ и наоборот - это чтобы людей запутать? :) Как-то более естественно всё-таки "плюсик с плюсиком", по-моему...

[amon]

Ascold,
Попробуйте осилить первые два параграфа из книжки А.Н. Васильева "Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике". Может просветление и наступит (а может -наоборот ;).

[Ascold]

Gickle в сообщении #1267163 писал(а):

А вы не могли бы, пожалуйста, написать, что вы понимаете под нормальным упорядочением? Ну, вот в терминах ваших $\psi_{+}$ и $\psi_{-}$.

К слову, а обозначение $\psi_{+}$ с фурье-преобразованием $a(p)$ и наоборот - это чтобы людей запутать? :) Как-то более естественно всё-таки "плюсик с плюсиком", по-моему...

Обозначение

$$\psi^+(x)=\int\frac{1}{(2\pi)^3\sqrt{2w_p}}a(p)e^{-ipx}d^3p$$

связано с тем, что если подействовать на подынтегральное выражение оператором $i\partial/\partial t,$ то энергия вынесется со знаком плюс.
Нормальное упорядочивание - это такая запись оператора, когда операторы рождения стоят перед операторами уничтожения, поэтому $:\psi^+(x)\psi^-(y):=\psi^-(y)\psi^+(x),$ а остальные комбинации при этом упорядочивании не преобразуются.

[Gickle]

Ascold
Да я не сомневаюсь, что какая-то причина есть для такого обозначения. :) Просто у меня в лекциях по КТП было "плюсик с плюсиком", что как-то несколько более естественным мне кажется. Дык это, раз вы совершенно правильно сказали, что такое нормальное упорядочение, то почему у вас в выражениях что-то другое фигурирует? Вот это чему равно

$:\left(\psi_{+}(x) + \psi_{-}(x)\right) \left(\psi_{+}(y) + \psi_{-}(y)\right):\ ?

А если потом $T$-упорядочить и обратно скомпоновать в терминах $\psi(x)$, $\psi(y)$?

(Оффтоп)

amon в сообщении #1267165 писал(а):

Ascold,
Попробуйте осилить первые два параграфа из книжки А.Н. Васильева "Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике". Может просветление и наступит (а может -наоборот ;).

Как по мне, книги Васильева хороши для тех людей, кто с вопросом уже знаком. Уж больно тяжеловесно написано для первого чтения.

[Ascold]

Gickle в сообщении #1267269 писал(а):

Вот это чему равно

$:\left(\psi_{+}(x) + \psi_{-}(x)\right) \left(\psi_{+}(y) + \psi_{-}(y)\right):\ ?$

А если потом $T$-упорядочить и обратно скомпоновать в терминах $\psi(x)$, $\psi(y)$?

Нормально упорядочиваю:

$$:\left(\psi_{+}(x) + \psi_{-}(x)\right) \left(\psi_{+}(y) + \psi_{-}(y)\right):\ =\psi_{+}(x)\psi_{+}(y)+\psi_{-}(x)\psi_{+}(y)+\psi_{-}(x)\psi_{-}(y) + \psi_{-}(y)\psi_{+}(x)$$

Хронометрически упорядочиваю (пусть $x_0>y_0$):

$$T\{\psi_{+}(x)\psi_{+}(y)+\psi_{-}(x)\psi_{+}(y)+\psi_{-}(x)\psi_{-}(y) + \psi_{-}(y)\psi_{+}(x)\}= $$ $$=\psi_{+}(x)\psi_{+}(y)+\psi_{-}(x)\psi_{+}(y)+\psi_{-}(x)\psi_{-}(y) + \psi_{+}(x)\psi_{-}(y)= \psi(x)\psi(y),$$

а не $:\psi(x)\psi(y):$
В этом простейшем примере нормальное упорядочивание коммутирует последнее слагаемое, а хронометрическое - возвращает его обратно...
Васильева читаю, пока не дошёл до места, где доказывалось бы, что $T(N(ABCD))=N(ABCD).$
У меня возникло ощущение, что Боголюбов и Ширков имеют ввиду всё-таки что-то другое или с дополнительными оговорками.

[Gickle]

Ascold
А, извиняюсь, что-то я просто неправильно прочитал, видимо, изначально. Честно говоря, я как-то до этого с такой "расширенной" теоремой Вика дел не имел, но создаётся впечатление, что имеется в виду что-то другое. Мне кажется, хорошая стратегия - посмотреть, что будет в случаях $T(:A B C:)$ и $T(:A B: :C D:)$, поскольку это вручную несложно делается. А из этого уже можно обобщить результат можно будет. После чего при желании и доказать даже нормально по индукции, наверное. :) Извиняюсь, что ввёл в заблуждение изначально.

[Ascold]

Я, кажется, понял, в чём дело - мы же расширяем теорему Вика не на какие попало произведения нормально упорядоченных групп операторов, а на входящие в S-матрицу. Там нормально упорядоченными множителями являются лагранжианы поля, относящиеся к одной точке пространства-времени, типа

$$ie:\bar{\psi}(x)\gamma_\nu\psi(x)A^\nu(x)}:,$$

поэтому их не нужно переносить через друг друга при Т-упорядочивании(но нужно через другие операторы из рядом стоящих лагранжианов). Поэтому эта операция не генерирует выражений $T(ABC)=N(ABC) +$ все свёртки для А,В,С, входящих в один и тот же лагранжиан.