Уравнение с разделяющимися переменными

[Draeden]

Доказать теорему:

если

$f: u(x_0) \to \mathbb{R}$
$g: v(y_0) \to \mathbb{R}$
$f,g \in C$
$g(y_0) \ne 0$

тогда

$\exists w(x_0) \quad \exists y:w \to \mathbb{R} \quad \forall x \in w \quad y'(x) = f(x)g(y(x))$

Обычно её доказывают так: $g(y_0) \ne 0$ и $g \in C$ тогда $\exists v'(y_0) \quad 0 \not \in g(v')$
далее пишут, что для $(x,y) \in u \times v'$ верно равенство $\int\limits_{x_0}^xf(x)dx = \int\limits_{y_0}^y\frac{dy}{g(y)}$. Как его получить ?

[zoo]

Draeden писал(а):

$f: u(x_0) \to \mathbb{R}$
$g: v(y_0) \to \mathbb{R}$
$f,g \in C$

это надо понимать в том смысле, что функции f и g непрерывны на множестве из одной точки?

И вообще:

Draeden писал(а):

Доказать теорему:

если

$f: u(x_0) \to \mathbb{R}$
$g: v(y_0) \to \mathbb{R}$
$f,g \in C$
$g(y_0) \ne 0$

тогда

$\exists w(x_0) \quad \exists y:w \to \mathbb{R} \quad \forall x \in w \quad y'(x) = f(x)g(y(x))$

Обычно её доказывают так: $g(y_0) \ne 0$ и $g \in C$ тогда $\exists v'(y_0) \quad 0 \not \in g(v')$
далее пишут, что для $(x,y) \in u \times v'$ верно равенство $\int\limits_{x_0}^xf(x)dx = \int\limits_{y_0}^y\frac{dy}{g(y)}$. Как его получить ?

Вы математических нотаций не знаете, поэтому будьте проще!

[Narn]

zoo писал(а):

Вы математических нотаций не знаете, поэтому будьте проще!

Ну, я, видимо, тоже не знаю, потому что мне все в формулировке понятно. В переводе с кванторного: функции $f$ и $g$ заданы в окрестностях $u(x_0)$, $v(y_0)$ точек $x_0$ и $y_0$, соответственно. Обе функции непрерывны, и $g(y_0) \ne 0$. Тогда найдется окрестность $v'(y_0)$, в которой $g$ отлична от 0.

Тогда на $g$ обе части нашего уравнения можно поделить, после чего остается проинтегрировать обе части по $x$ от $x_0$ до $x$ и в интеграле слева $\int\limits_{x_0}^{x}\frac{y'(x)dx}{g(y)}$ сделать замену переменной (внести $y$ под знак дифференциала, не забыв соответсвующим образом поменять пределы).

А лучше читайте учебник Арнольда по обыкновенным дифференциальным уравнениям, там это правильнее изложено, через дифф. формы.

[ewert]

а истчо лучше -- разделять переменные и интегрировать, ни о чём не заботясь, ни даже об Арнольдах, не говоря уж о прочих учебниках.

[zoo]

Narn писал(а):

Ну, я, видимо, тоже не знаю, потому что мне все в формулировке понятно. В переводе с кванторного: функции $f$ и $g$ заданы в окрестностях $u(x_0)$, $v(y_0)$ точек $x_0$ и $y_0$, соответственно.

такие вещи всетаки надо оговаривать по-человечески. Кстати, приведите мне пожалуйста ссылку на какую-нибудь книжку в которой окрестности точек обозначены именно так маленькими буквами.

[Narn]

zoo писал(а):

Narn писал(а):

Ну, я, видимо, тоже не знаю, потому что мне все в формулировке понятно. В переводе с кванторного: функции $f$ и $g$ заданы в окрестностях $u(x_0)$, $v(y_0)$ точек $x_0$ и $y_0$, соответственно.

такие вещи всетаки надо оговаривать по-человечески. Кстати, приведите мне пожалуйста ссылку на какую-нибудь книжку в которой окрестности точек обозначены именно так маленькими буквами.

Я согласен. Вообще, в таком виде (совсем без слов) читать тяжело.

Paul Halmosh писал(а):

Я отрицаю, что кто бы то ни было мыслит в терминах $\forall$, $\exists$

Насчет окрестностей - не знаю, кажется, где-то встречалось, но не уверен. Обычно, конечно, большие буквы используют.

[Someone]

Narn писал(а):

Насчет окрестностей - не знаю, кажется, где-то встречалось, но не уверен. Обычно, конечно, большие буквы используют.

Большие или маленькие - это не столь важно. Как, глядя на символ $v(x_0)$ или $V(x_0)$, догадаться, что он означает: значение некоей функции в точке $x_0$ или окрестность точки $x_0$?

[Narn]

Draeden писал(а):

$f: u(x_0) \to \mathbb{R}$
$g: v(y_0) \to \mathbb{R}$

А этого недостаточно? Если бы имелось в виду значение функции, то было бы

$f: \{u(x_0) \} \to \mathbb{R}$
$g: \{ v(y_0) \} \to \mathbb{R}$

[Someone]

Ну Вы же видите, что никто не догадался. Не стесняйтесь пояснить свои обозначения. Хуже от этого не будет, а недоразумений будет меньше.

[Narn]

Someone писал(а):

Ну Вы же видите, что никто не догадался. Не стесняйтесь пояснить свои обозначения. Хуже от этого не будет, а недоразумений будет меньше.

Да не мои это обозначения. Я их и пояснил в своем первом посте. А то, что так лучше не писать - кто ж спорит-то.

[Someone]

Извините, писал, естественно, не Вам, а Draedenу. И уже забыл, что Вы-то догадались.

[Draeden]

Narn, если есть такое равенство ( $y'=f(x)g(y)$ ) то ведь и доказывать будет нечего: функцию $y$ ещё предстоит найти.

ewert, вы предлагаете запись вроде $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$ ? Я её старательно избегаю, поскольку не понимаю её смысла. Буду признателен, если обьясните.

P.S. честно говоря не ожидал, что обозначения вызовут такие дискуссии Я на позавчерашнем экзамене по матану написал ответ на билет без единого слова ( 2 страницы кванторов ). Препод чуть не уснул

[Парджеттер]

Draeden писал(а):

запись вроде $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$ ? Я её старательно избегаю, поскольку не понимаю её смысла.

Извините, в каком смысле не понимаете?

[Narn]

Draeden писал(а):

Narn, если есть такое равенство ( $y'=f(x)g(y)$ ) то ведь и доказывать будет нечего: функцию $y$ ещё предстоит найти.

Да, это Вы правильно заметили.

1) Докажем единственность. Пусть такая функция существует. Тогда должно выполняться равенство $\int\limits_{y_0}^{y} \frac{dy}{g(y)}=\int\limits_{x_0}^{x}f(x)dx$
Пусть $G(y)=$\int\limits_{y_0}^{y} \frac{dy}{g(y)}$ - первообразная для $1/g$, $F=\int\limits_{x_0}^{x}f(x)dx$ - для $f$. Функция $G$ является монотонной, так как ее производная $1/g$ сохраняет знак в $v'(y_0)$, то есть существует обратная $G^{-1}$. Имеем: $G(y)=F(x)$, откуда $y=G^{-1}(F(x))$. То есть, если решение существует, то оно обязано иметь такой вид.
2) Докажем существование. Берем $y=G^{-1}(F(x))$
и подставляем в уравнение. Вспоминаем теорему о производной обратной функции, и получаем равенство.

Но это дает существование лишь локально, если $g$ обращается в 0 - то у нас проблемы.

Добавлено спустя 8 минут 52 секунды:

Draeden писал(а):

запись вроде $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$ ? Я её старательно избегаю, поскольку не понимаю её смысла. Буду признателен, если обьясните.

Правильно не понимаете. Потому что, пока не будут введены дифф. формы, эта запись никакого смысла, кроме мнемонического, иметь не будет. То есть это прием такой, чтоб легче решать было. Все работает, но прояснить математический смысл... Осмелюсь еще раз Арнольда порекомендовать, там все написано.

[Draeden]

Спасибо, хорошее доказательство: проще того, которое нам давали на лекции, к тому же без "dx", "dy"