Помогите проверкой заданий на функциональные ряды

[Infer57]

Здравствуйте!
Решил несколько задач на функциональные ряды, но хотелось бы удостовериться, что делаю все правильно.
Проверьте, пожалуйста, решения:

(1) Найти область сходимости функционального ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)}^{n}}{{(x+n)}^{3}}$$

Решение: Т.к. знаменатель не должен равняться нулю $(x+n \ne 0)$, то $x \ne -n$. Другими словами, исключаем все целые отрицательные значения $x$.
Далее, потому как ряд не является знако-положительным, рассмотрим ряд состоящий из модулей членов исходного ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left\lvert{(x+n)}^{3}\right\rvert}$$

И сравним данный ряд с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{n}^{3}}$, сходящимся как ряд Дирихле. Предел отношения этого ряда и ряда модулей при $n\to\infty$ равен единице, а значит по предельному признаку сравнения ряд модулей сходится вместе с ним, а значит исходный ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой, за исключением целых отрицательных значений $x$.

(2) Найти сумму ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)}^{n-1}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}){x}^{n}x$$

Раскрываю скобки и разбиваю получившийся ряд на сумму двух:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)}^{n-1}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}){x}^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n} + \frac{1}{x}\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n+1}}{n+1}$$
Обозначим за ${S}_{1}$ сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$, а за ${S}_{2}$ сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n+1}}{n+1}$. Тогда $S = {S}_{1} + \frac{1}{x}{S}_{2}$ будет суммой исходного ряда.
1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n} = \ln(1+x)$ при $\left\lvert x\right\rvert < 1$
2) По членно продифференцируем ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n+1}}{n+1}$ и вынесем за знак суммы $x$, тогда при $\left\lvert x\right\rvert < 1$ ряд производных будет сходиться к $\frac{x}{1+x}$. Теперь проинтегрируем получившуюся функцию по $x$ от $0$ до $x$. В результате получим, что ${S}_{2} = x-\ln(1+x)$ (при $\left\lvert x\right\rvert < 1$)
В таком случае, сумма исходного ряда:
$S = \ln(1+x) + \frac{1}{x}(x-\ln(1+x)) = \frac{x-1}{x}\ln(1+x)+1$

(3) Для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{{x}^{n}}{n!}$ построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на отрезке $[-3; 3]$
Рассмотрим числовой ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{{3}^{n}}{n!}$ По радикальному признаку Коши он сходится: $\lim\limits_{n\to \infty}^{}{(\frac{{3}^{n}}{n!})}^{\frac{1}{n}} = 0 < 1$.
И т.к. $\frac{{x}^{n}}{n!} \leqslant \frac{{3}^{n}}{n!}$, это значит исходный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом, а значит по признаку Вейерштрасса исходный ряд сходится равномерно.

Помогите, пожалуйста, выявить неточности и ошибки в решении и устранить их.

[Brukvalub]

В п.2 дифференцирование излишне, ведь второе слагаемое после умножения на $-1$ отличается от первого на один член,
а вот это:

Infer57 в сообщении #1266528 писал(а):

И т.к. $\frac{{x}^{n}}{n!} \leqslant \frac{{3}^{n}}{n!}$

ни в какие ворота не лезет!!!

[Infer57]

Цитата:

В п.2 дифференцирование излишне

Понял, спасибо!

Цитата:

ни в какие ворота не лезет!!!

Не могли бы Вы, пожалуйста, пояснить почему?
Делал я это с такой логикой: поскольку работаем на отрезке $[-3; 3]$, значит $x$ не принимает значений больших трех, т.е. функциональный ряд $\frac{{x}^{n}}{n!}$ ограничен сверху числовым рядом $\frac{{3}^{n}}{n!}$

[Brukvalub]

Ряд из минус единиц ограничен сверху рядом из нулей, и ЧО?

[Infer57]

Еще раз посмотрел признак Вейерштрасса и заметил, что потерял модуль. Возможно должно быть так:
Члены исходного ряда удовлетворяют условию $\left\lvert\frac{{x}^{n}}{n!} \right\rvert\leqslant \frac{{3}^{n}}{n!}$ $\forall x \in [-3; 3], \forall n \in \mathbb{N}$ и ряд $\frac{{3}^{n}}{n!}$ сходится, значит по признаку Вейерштрасса ряд $\frac{{x}^{n}}{n!}$ сходится на рассматриваемом отрезке равномерно.