Здравствуйте!
Решил несколько задач на функциональные ряды, но хотелось бы удостовериться, что делаю все правильно.
Проверьте, пожалуйста, решения:
(1) Найти область сходимости функционального ряда:
Решение: Т.к. знаменатель не должен равняться нулю
, то
. Другими словами, исключаем все целые отрицательные значения
.
Далее, потому как ряд не является знако-положительным, рассмотрим ряд состоящий из модулей членов исходного ряда:
И сравним данный ряд с рядом
, сходящимся как ряд Дирихле. Предел отношения этого ряда и ряда модулей при
равен единице, а значит по предельному признаку сравнения ряд модулей сходится вместе с ним, а значит исходный ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой, за исключением целых отрицательных значений
.
(2) Найти сумму ряда:
Раскрываю скобки и разбиваю получившийся ряд на сумму двух:
Обозначим за
сумму ряда
, а за
сумму ряда
. Тогда
будет суммой исходного ряда.
1)
при
2) По членно продифференцируем ряд
и вынесем за знак суммы
, тогда при
ряд производных будет сходиться к
. Теперь проинтегрируем получившуюся функцию по
от
до
. В результате получим, что
(при
)
В таком случае, сумма исходного ряда:
(3) Для ряда
построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на отрезке
Рассмотрим числовой ряд
По радикальному признаку Коши он сходится:
.
И т.к.
, это значит исходный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом, а значит по признаку Вейерштрасса исходный ряд сходится равномерно.
Помогите, пожалуйста, выявить неточности и ошибки в решении и устранить их.