Разрезание квадрата на «флаги»

[Ktina]

При каких натуральных $n$ можно разрезать квадрат на $n$ «флагов», то есть, на $n$ прямоугольников (не обязательно различных), у каждого из которых одна сторона в два раза больше другой?

[Dmitriy40]

Для $n=2\cdot4^k$ точно можно.
Для $n=1$ очевидно нельзя.
Для $n=3$ не очевидно, но тоже нельзя.

[waxtep]

Все $n=3k+2$ можно...а вот $3k$ или $3k+1$...надо попотеть

-- 18.11.2017, 02:00 --

Можно на $6$, а, значит, на $3k,k\ge2$

-- 18.11.2017, 02:07 --

Можно на $16$, значит и на $3k+1,k\ge5$
Остается проверить $n=4,7,10,13$

-- 18.11.2017, 02:24 --

$10$ и $13$ можно

[waxtep]

$n=1,3,4$ - нельзя, $n=7$ - не знаю, остальные $n$ - можно.

[Dmitriy40]

На $n=7$ (и соответственно на $n=7+3k$) тоже можно:

[Ktina]

waxtep в сообщении #1266332 писал(а):

$n=1,3,4$ - нельзя, $n=7$ - не знаю, остальные $n$ - можно.

Почему нельзя на 3 и 4?

[Dmitriy40]

Ну на 3 доказать можно, рассмотреть все возможные варианты размещения двух элементов (а таких вариантов ровно два) и показать, что остаток от квадрата или не сохраняет соотношение сторон, или все три флага оказываются равными и не формируют квадрат. Возможно аналогичным образом можно показать и для $n=4$, что остаток не делится на две части с заданным соотношением сторон, это кажется ненамного сложнее.

[waxtep]

Ktina в сообщении #1266414 писал(а):

Почему нельзя на 3 и 4?

перебором вариантов, как указал Dmitriy40. Для $n=3,4$ один из прямоугольников должен иметь большую сторону, равную стороне квадрата, а дальше легко.

[arseniiv]

Dmitriy40
Да, разбиений на 4 части всего на два четыре больше, если брать с точностью до отражений и поворотов, и из них два будут эквивалентны друг другу для нашего рассмотрения.

[waxtep]

arseniiv в сообщении #1266426 писал(а):

Да, разбиений на 4 части всего на два четыре больше

Ух ты, верхнего правого не заметил где нет прямоугольника со стороной, равной стороне квадрата