2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разрезание квадрата на «флаги»
Сообщение18.11.2017, 00:31 
Аватара пользователя


01/12/11
6821
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
При каких натуральных $n$ можно разрезать квадрат на $n$ «флагов», то есть, на $n$ прямоугольников (не обязательно различных), у каждого из которых одна сторона в два раза больше другой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание квадрата на «флаги»
Сообщение18.11.2017, 00:42 
Заслуженный участник


20/08/14
4559
Россия, Москва
Для $n=2\cdot4^k$ точно можно.
Для $n=1$ очевидно нельзя.
Для $n=3$ не очевидно, но тоже нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание квадрата на «флаги»
Сообщение18.11.2017, 01:47 
Аватара пользователя


07/01/16
311
Все $n=3k+2$ можно...а вот $3k$ или $3k+1$...надо попотеть :-)

-- 18.11.2017, 02:00 --

Можно на $6$, а, значит, на $3k,k\ge2$

-- 18.11.2017, 02:07 --

Можно на $16$, значит и на $3k+1,k\ge5$
Остается проверить $n=4,7,10,13$

-- 18.11.2017, 02:24 --

$10$ и $13$ можно

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание квадрата на «флаги»
Сообщение18.11.2017, 03:04 
Аватара пользователя


07/01/16
311
$n=1,3,4$ - нельзя, $n=7$ - не знаю, остальные $n$ - можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание квадрата на «флаги»
Сообщение18.11.2017, 07:08 
Заслуженный участник


20/08/14
4559
Россия, Москва
На $n=7$ (и соответственно на $n=7+3k$) тоже можно:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание квадрата на «флаги»
Сообщение18.11.2017, 16:29 
Аватара пользователя


01/12/11
6821
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
waxtep в сообщении #1266332 писал(а):
$n=1,3,4$ - нельзя, $n=7$ - не знаю, остальные $n$ - можно.

Почему нельзя на 3 и 4?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание квадрата на «флаги»
Сообщение18.11.2017, 16:56 
Заслуженный участник


20/08/14
4559
Россия, Москва
Ну на 3 доказать можно, рассмотреть все возможные варианты размещения двух элементов (а таких вариантов ровно два) и показать, что остаток от квадрата или не сохраняет соотношение сторон, или все три флага оказываются равными и не формируют квадрат. Возможно аналогичным образом можно показать и для $n=4$, что остаток не делится на две части с заданным соотношением сторон, это кажется ненамного сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание квадрата на «флаги»
Сообщение18.11.2017, 17:07 
Аватара пользователя


07/01/16
311
Ktina в сообщении #1266414 писал(а):
Почему нельзя на 3 и 4?
перебором вариантов, как указал Dmitriy40. Для $n=3,4$ один из прямоугольников должен иметь большую сторону, равную стороне квадрата, а дальше легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание квадрата на «флаги»
Сообщение18.11.2017, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Dmitriy40
Да, разбиений на 4 части всего на два четыре больше, если брать с точностью до отражений и поворотов, и из них два будут эквивалентны друг другу для нашего рассмотрения.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрезание квадрата на «флаги»
Сообщение18.11.2017, 17:17 
Аватара пользователя


07/01/16
311
arseniiv в сообщении #1266426 писал(а):
Да, разбиений на 4 части всего на два четыре больше
Ух ты, верхнего правого не заметил :facepalm: где нет прямоугольника со стороной, равной стороне квадрата

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group