Решение одномерного уравнения Шредингера

Red_Herring · 31/01/14 11467 Hogtown

g______d в сообщении #1263152 писал(а):

Да, тогда из общей теории можно только сказать, что будет непрерывный спектр при энергиях выше $U_0$ и какое-то количество (зависящее от $d$ и $U_0$ ) простых

Дискретный спектр будет бесконечным: На бесконечности потенциал похож на кулоновский сдвинутый $U_0 - U_0|x|^{-1}$ , а у последнего д.с. бесконечен и накапливается к $U_0^-$ . Собственные функции, четные и нечетные, будут чередоваться. Можно писать асимптотики, причем весьма точные для $E_n$ и даже для соответствующих собственных функций (методом WKB)

reterty · 08/10/09 980 Херсон

Спасибо всем за дельные советы.Я лишь отмечу, что и здесь можно пытаться искать точное решение с помощью степенных рядов. При этом на начальном этапе нужно отыскать асимптотические решения при $x\to \infty$ и $x\to 0$ . Далее их можно будет "сшить" при помощи степенного ряда. Словом, а-ля радиальное уравнение с кулоновским потенциалом.

Red_Herring · 31/01/14 11467 Hogtown

reterty в сообщении #1263234 писал(а):

точное решение с помощью степенных рядов

Ну получите вы какой-то степенной ряд (в лучшем случае), или точнее, несколько степенных рядов. Ну и что? Степенной ряд в 0 тривиален: ведь потенциал "абсолютно плоский". На бесконечности степенной ряд должен быть по обратным степеням, причем с умножением на $e^{-\beta |x|}$ . И дальше?

reterty · 08/10/09 980 Херсон

В вышеупомянутой яме, а именно в яме с потенциальной энергей $U=U_0 \exp(-d/\vert x \vert)$ точка перегиба потенциального профиля всегда совпадает с краем ямы $d$ , но для нее нельзя "играться" со степенью размытия ямы. Я придумал потенциал использующий фермиевскую функцию для фермионов. Зависимость следующая: $U=U_0\left(\frac{\exp\left(\frac{\vert x\vert-d}{\Delta}\right)}{1+\exp\left(\frac{\vert x\vert-d}{\Delta}\right)}\right)$ , где $\Delta$ -величина размерности длины, характеризующая степеннь размытия ямы. При $\Delta \to 0$ глубина ямы практически не изменяется и равна $U_0$ , а точка перегиба также всегда совпадает с краем ямы. Правда, эта зависисимость паршиво ведет себя вблизи центра ямы. А вот придумать яму с фиксированной глубиной и точкой перегиба и с переменным "размытием" мне не удалось. Наверное, такой функции не существует вообще.

Ну и наконец, я нашел в литературе так называемое преобразование Дарбу, которое позволяет привести данное ДУ с переменными коэффциентами к одному из известных видов. Может кто-то знает хорошую монографию по этому преобразованию, где описан четкий алгоритм действий?

ewert · 11/05/08 32166

Red_Herring в сообщении #1263223 писал(а):

Дискретный спектр будет бесконечным: На бесконечности потенциал похож на кулоновский сдвинутый $U_0 - U_0|x|^{-1}$

Это правда, но ещё лучше сказать, что интеграл $\int|x(u(x)-u_0)|dx$ на бесконечности расходится.

Red_Herring · 31/01/14 11467 Hogtown

ewert в сообщении #1265506 писал(а):

Это правда, но ещё лучше сказать, что интеграл $\int|x(u(x)-u_0)|dx$ на бесконечности расходится.

На самом деле, "похож на кулоновский" несет больше информации: не только о бесконечности числа с.з. но и о том что $\lambda_n\sim \mu_n$ , о с.з. двух операторов.

pogulyat_vyshel · 31/08/17 2116

reterty в сообщении #1262820 писал(а):

После простейших преобразований оно сводится к виду:
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+[k^2-\alpha^2 \exp(-1/x)]\psi=0$ , (1)

система $\dot\psi =p,\quad \dot p=(-k^2+\alpha^2 \exp(-1/t))\psi$ приводится к системе с постоянной матрицей заменой $z\mapsto C(t)z,\quad z=(\psi,p)^T$ , где $C(t)$ -- матрица Ляпунова ( $t\ge const>0)$ У системы с постоянной матрицей характеристические показатели теже, что и в исходной системе

-- 16.11.2017, 13:43 --

и равны $\pm\sqrt{\alpha^2-k^2}$