Сохраняется ли ортогональность после процедуры Грама-Шмидта?

[MariaMushka]

Здравствуйте! Вот такой вопрос:
В некоторм d-мерном пространстве заданы 2 линейно независимые ситемы d векторов. Один из этих базисов ортогональный. Если мы сделаем линейное преобразование пространства, соответствующее процедуре ортогонализации Грама-Шмидта для второго базиса(без нормализации), останется ли первый ортогональным?

[TOTAL]

Проведите эксперимент в $2D$

[MariaMushka]

Мне кажется, что ответ да, хотя это как-то подозрительно.
Такие рассуждения: матрица перехода к новому базису, полученному после ортогонализации верхнетреугольная. Если без нормализации, то на диагонали 1.
Поэтому (a',b')=(Qa,Qb)=(a,QTQb)=(a,b).
Если (a,b)=0, то (a',b')=0.
Правильно?

[TOTAL]

MariaMushka писал(а):

Мне кажется, что ответ да, хотя это как-то подозрительно.

Возьмите конкретные пару базисов и проверьте свою гипотезу.

[MariaMushka]

Кажется я немного запуталась в понятиях "матрица перехода" и "матрица линеного преобразования"! Процедуре ортогонализации вообще не соответствует линейное преобразование. Или я снова что-то перепутала?

[Бодигрим]

Цитата:

Кажется я немного запуталась в понятиях "матрица перехода" и "матрица линеного преобразования"!

Э-э, вы не могли бы дать определения этих объектов?

[bot]

Какой-то странный вопрос. Есть два базиса - первый ортогональный, а второй нет. Второй базис подвергаем некоторому процессу - к примеру процессу Грима-Шмадта. Спрашивается, меняется ли первый базис?

[MariaMushka]

Я имела в виду следующее: можно ли взглянуть на процесс ортогонализации не как на переход к новому базису, а как на некое линейное преобразование, при котором вектора старого неортогонального базиса переходят в новый ортогональный? И если да, то что произойдет после такого преобразования с системой взаимноортогональных векторов?

[bot]

Дык ясно, ортогональный базис процесс Грама-Шмидта оставит неизменным - проследите, что на каждом шаге находят единственным (!) образом некоторые коэффициенты, при которых новый вектор ортогонален найденным в результате предыдущих шагов. А какие же ещё в таком случае могут быть эти коэффициенты, кроме нулевых?

Добавлено спустя 1 минуту:

А что такое ННГУ?

[MariaMushka]

bot писал(а):

Дык ясно, ортогональный базис процесс Грама-Шмидта оставит неизменным

Нет, я немного не то имею ввиду. Мы делаем некоторое преобразование, при котором система неортогональных векторов переходит в ортогональную(в ту, которая получается в результате процесса Грама-Шмидта). Если то же само преобразование применить к системе векторов, которые изначально были взаимно ортогональны, сохранится ли ортогональность?

[ewert]

Матрица перехода, переводящая один ортогональный базис в другой, имеет вид $D_1UD_2$, где $U$ -- унитарная (ортогональная) матрица и $D_1$, $D_2$ -- диагональные матрицы, обеспечивающие нормировку на входе и выходе. Матрица процедуры Грама-Шмидта треугольна и, следовательно, не может иметь такого вида.

[MariaMushka]

ewert писал(а):

Матрица процедуры Грама-Шмидта треугольна и, следовательно, не может иметь такого вида.

Треугольная матрица является ортогональной, разве не так?

Однако я не понимаю какое это имеет отношение к моему вопросу.
Я спрашиваю именно о линейном преобразовании, сохраняющем ортогональность.

[ewert]

MariaMushka писал(а):

Треугольная матрица является ортогональной, разве не так?

Треугольная матрица не является ортогональной, если только она не диагональна -- но тогда и процесса ортогонализации как такового нет.

[AD]

MariaMushka писал(а):

Я спрашиваю именно о линейном преобразовании, сохраняющем ортогональность.

Если невырожденное линейное преобразование сохраняет ортогональность, то оно сохраняет и неортогональность.