Доказать существование пределов по определению

[loser228]

И ещё:

PlotF в сообщении #1264594 писал(а):

$\left\lvert\sqrt{3+x}-2\right\rvert<\varepsilon$

$\left\lvert\frac{x-1}{\sqrt{3+x}-2}\right\rvert<\varepsilon$

В этом переходе ошибка.

[PlotF]

loser228
Согласен ошибся. Нужно поменять $-$ на $+$.

[loser228]

PlotF в сообщении #1264690 писал(а):

loser228
Но $ $0<|x-1|<\delta$$ же ? $0<x<6$

В первом посте вы верно преобразовали неравенство с модулем. Хотя то, что модуль $\geqslant0$ и так выполняется, можно было это и не писать.

[PlotF]

loser228
$\frac{2}{2^n-1}<\varepsilon$
прологарифмировал обе части неравенства
$1 - \log_2{(2^n - 1)} < \log_2{\varepsilon} $
$\log_2{(2^n - 1)} > \log_2{\frac{2}{\varepsilon}} $
$2^n - 1 > \frac{2}{\varepsilon}$
$2^n > \frac{2}{\varepsilon}+1$
Снова логарифмирую
$n > \log_2{(\frac{2}{\varepsilon}+1)}$
Правильно?
Единственное осталось от этого взять целую часть.
Что делать в первом? Не знаю, какими методами можно убрать корень из знаменателя.

[loser228]

PlotF в сообщении #1264698 писал(а):

loser228
$\frac{2}{2^n-1}<\varepsilon$
прологарифмировал обе части неравенства
$1 - \log_2{(2^n - 1)} < \log_2{\varepsilon} $
$\log_2{(2^n - 1)} > \log_2{\frac{2}{\varepsilon}} $
$2^n - 1 > \frac{2}{\varepsilon}$
$2^n > \frac{2}{\varepsilon}+1$
Снова логарифмирую
$n > \log_2{(\frac{2}{\varepsilon}+1)}$
Правильно?
Единственное осталось от этого взять целую часть.

Да
В первом если взять $\delta_0=1$, то при всех $\delta<1$ будет выполняться, что

$$\frac{1}{\sqrt{3+x}+2}<\frac{1}{2+\sqrt{3}}$$

, тогда в качестве искомого $\delta$ подойдёт $\varepsilon(2+\sqrt{3})$. Следовательно, нам нужно ограничить $\delta$, взяв $\delta=\min\left\lbrace1,\varepsilon(2+\sqrt{3})\right\rbrace$ .

[PlotF]

loser228
Не представляете, такой вариант рассматривал. Ответ показался не слишком красивым . Посмотрел на $\delta = 5$, функция то не определена при всех $x$ из этого отрезка.

-- 12.11.2017, 16:44 --

loser228
Огромное спасибо. Теперь понял, как это работает.
P.S.
Смотрел в интернете похожие задания, почему везде в пример приводят простейшие вещи, вроде многочленов и простейших функций? Грустно как то от такого становится.

[loser228]

PlotF в сообщении #1264709 писал(а):

loser228
функция то не определена при всех $x$ из этого отрезка.

О чем вам и говорилось несколько постов назад. И там был интервал, а не отрезок.

[provincialka]

PlotF в сообщении #1264709 писал(а):

почему везде в пример приводят простейшие вещи, вроде многочленов и простейших функций?

Не скажу за всех авторов... Но вообще-то в этом есть своя правда. По хорошему, непрерывность корня или степени следует не из определения предела.
Как раз наоборот, элементарные функции строятся (продолжаются на произвольные вещественные числа) так, чтобы они были непрерывными.

Действительно, что такое даже банальный $\sqrt 2$? Ведь мы знаем, что этот корень "не извлекается". Но можно рассмотреть последовательность чисел $1 =\sqrt 1, 1,4 = \sqrt {1,96}, 1,41 = \sqrt {1,9881}...$. Здесь все корни извлекаются, а подкоренное выражение стремится к 2. Тогда корень из 2 -- это то число, которое является пределом этой последовательности. То есть значения элементарных функций строятся, как пределы! Если построение проведено правильно, то предел функции и будет равен ее значению в точке.

Так что ваши задания -- чисто учебные, чтобы приучить вас манипулировать эпсилонами и дельтами. К правильному доказательству приведенных фактов они отношения не имеют..

[ewert]

provincialka в сообщении #1264911 писал(а):

То есть значения элементарных функций строятся, как пределы!

Это не совсем так. Как предел строится только показательная функция, т.к. с ней иначе никак (ну разве что обычно удобнее говорить не о пределах, а о супремумах, но это более-менее одно и то же). Остальные же вводятся как сложные или обратные функции уже после того, как введено понятие непрерывности и доказаны соответствующие теоремы. Тот же корень определяется тупо как функция, обратная к целочисленной степени, исходя из теоремы об обратной функции (верной на $\mathbb R$, но неверной на $\mathbb Q$). Конечно, основывается это на пределах, но лишь в конце концов; непосредственно же -- на непрерывности.

Другое дело, что многие используют корень при доказательствах предела по определению, т.е. до того, как это формально законно, ибо иначе жизнь оказалась бы совсем уж бедной. Я сам этим грешу. Правда, обычно оговариваю, что можно этого избежать, огрубляя оценки, и показываю, как это можно сделать.

[provincialka]

ewert
Совершенно верно! Я тоже хотела сказать про обратную функцию, непрерывность которой доказывается в общем виде.
Просто не стала перегружать мозги ТС... Боюсь, ему пока рановато...

ewert в сообщении #1264931 писал(а):

Я сам этим грешу. Правда, обычно оговариваю, что можно этого избежать, огрубляя оценки, и показываю, как это можно сделать.

Ага! И я так же!