Доказать существование пределов по определению

[PlotF]

Здравствуйте. Хотел проверить правильность своего решения.
1. $\lim\limits_{x\to1}\sqrt{3+x}=2$
Записываю : $0 < \left\lvert x - 1 \right\rvert < \delta \Rightarrow \left\lvert\sqrt{3+x}-2\right\rvert<\varepsilon$
Я выбрал $\delta = 5, 0 < \left\lvert x - 1 \right\rvert < 5, -4 < x < 6$.
$\left\lvert\frac{x-1}{\sqrt{3+x}-2}\right\rvert<\varepsilon$
Максимальное значение $x = 6$
$\left\lvert\frac{x-1}{\sqrt{3+6}-2}\right\rvert<\varepsilon,\left\lvert{x-1}\right\rvert<\varepsilon$
Тогда для любого произвольного числа $\varepsilon > 0$ мы можем выбрать число $\delta$ такое, что $\delta = \min{(\varepsilon,5)}$
2.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2^n+1}{2^n-1}=1$
Записываю : $\left\lvert \frac{2^n+1}{2^n-1} - 1\right\rvert<\varepsilon$
$\left\lvert \frac{2}{2^n-1}\right\rvert<\varepsilon$
$\frac{2}{2^n-1}<\frac{2}{2^n}<\varepsilon$
Отсюда получается $n>[1-\log_2{\varepsilon}]+1$
Нет где-нибудь ошибок? Есть ли другой путь в первом задании?

[svv]

PlotF в сообщении #1264594 писал(а):

Записываю : $0 < \left\lvert x - 1 \right\rvert < \delta \Rightarrow \left\lvert\sqrt{3+x}-2\right\rvert<\varepsilon$

Там вначале ещё пара кванторов: для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что ...

PlotF в сообщении #1264594 писал(а):

Я выбрал $\delta = 5, 0 < \left\lvert x - 1 \right\rvert < 5, -4 < x < 6$.
$\left\lvert\frac{x-1}{\sqrt{3+x}-2}\right\rvert<\varepsilon$
Максимальное значение $x = 6$
$\left\lvert\frac{x-1}{\sqrt{3+6}-2}\right\rvert<\varepsilon,\left\lvert{x-1}\right\rvert<\varepsilon$

Не понимаю, что тут делается.

[mihailm]

Скорее всего тут сравнивается дельта с эпсилоном. Типа дельта больше эпсилон.
Но ералаш конечно тот еще.)

[PlotF]

svv
Я взял $\delta = 5$. $0 < |x-1| < 5$ получил $ 1< x < 6$ и использовал это условие в

$$\left\lvert\frac{x-1}{\sqrt{3+x}-2}\right\rvert<\varepsilon$$

Нашёл этот способ тут
Никак не понимаю как избавиться от корня в знаменателе. Была бы функция ограниченная, можно было избавиться от неё.

[svv]

И там не понимаю, причём первую же фразу (Пример 2):

Цитата:

Положим для простоты, что $\delta=1$.

Каков статус этого для простоты выбранного $\delta$ ? Оно годится для любых $\varepsilon>0$ ? (Очевидно, что нет.)

-- Вс ноя 12, 2017 13:24:35 --

Если бы было «пусть $\delta_0=1$», это было бы понятно. Но потом из $\delta_0$ надо будет как-то получить $\delta$.

[PlotF]

svv
Если это не правильно, то как тогда делать дальше?

$$$\left\lvert\frac{x-1}{\sqrt{3+x}-2}\right\rvert<\varepsilon$$$

Я не понимаю, что делать с корнем.

[svv]

Я не понимаю, что Вы вообще делаете. Прошу помочь других участников.

[loser228]

PlotF
Почему $\delta=5$ ? Отсюда выходит, что $-4<x<6$ , но исходная функция определена не для всех $x$ из данного неравенства.

[PlotF]

loser228
Я выбрал $\delta =5 $,чтобы корень извлёкся нормально. $0<|x-1|<5$,из этого разве не следует, что нужно отбросить $-4$?

[loser228]

PlotF в сообщении #1264678 писал(а):

loser228
Я выбрал $\delta =5 $,чтобы корень извлёкся нормально. $0<|x-1|<5$,из этого разве не следует, что нужно отбросить $-4$?

А если взять $x=-3.9999$?

[PlotF]

loser228

$$ 1< x < 6$$

взял $x=3.9999$. От этого что-то изменилось? Оно не попадает в отрезок?

[loser228]

PlotF в сообщении #1264594 писал(а):

$\frac{2}{2^n-1}<\frac{2}{2^n}$

Это неверно.

[PlotF]

loser228
Согласен. Ошибся.

[loser228]

Если $\delta=5$ , то $|x-1|<\delta=|x-1|<5\Leftrightarrow -4<x<6$ .

[PlotF]

loser228
Но $ $0<|x-1|<\delta$$ же ? $0<x<6$