Как ни переставляй, а оно всё делится на 7

[Ktina]

Сколько существует шестизначных чисел, не содержащих цифру 0, которые имеют такое свойство - как цифры этого числа ни переставляй, получится шестизначное число, делящеесе нацело на 7?

[gris]

Начну с $777777$.

[Ktina]

gris

(Оффтоп)

Если не ошибаюсь, эта задача предлагалась и на израильском "психотесте". Но там давалось 4 варианта ответа, из которых надо было выбрать единственно верный. А это уже, хоть и немного, но легче.

[Dmitriy40]

Не-не, начать лучше сразу с $111111$. Соответственно и число из любых одинаковых цифр тоже делится. А ещё и каждую из единичек можно заменить на восьмёрку, получится ещё пять уникальных чисел, итого уже 14 чисел (с точностью до перестановки цифр).

[kotenok gav]

Dmitriy40 в сообщении #1264368 писал(а):

получится ещё пять уникальных чисел,

Каких?

[Ktina]

Dmitriy40 в сообщении #1264368 писал(а):

А ещё и каждую из единичек можно заменить на восьмёрку, получится ещё пять уникальных чисел, итого уже 14 чисел (с точностью до перестановки цифр).

Почему пять?

[Mikhail_K]

Ktina в сообщении #1264370 писал(а):

Почему пять?

Видимо, с точностью до перестановок цифр. Можно заменить на восьмёрку или одну единицу, или две, или три, или четыре, или пять - получится пять разных чисел, удовлетворяющих условию задачи и не превращающихся друг в друга перестановками цифр. А если заменить все шесть единиц восьмёрками, то про это число уже было сказано выше (шестизначные числа из одинаковых цифр, неважно каких, условию удовлетворяют).

[Dmitriy40]

Mikhail_K в сообщении #1264377 писал(а):

Видимо, с точностью до перестановок цифр.

Да.

[gris]

Ну можно так ещё. Если число содержит хотя бы две разные цифры, то загнав их в конец, переставим, и получим, что разность будет делиться и на 7, и на 9. То есть на 63. Таких пар две: $(18,81)$ и $(29,92)$.
То есть подойдут числа $1...8$ и $2...9$ Достаточность очевидна. То есть получаем пять чисел из одинаковых цифр, кроме этих четырех, и ещё два раза по 64 числа из этих пар. То есть всего 133 числа

[Dmitriy40]

Почему 133? 19 же: 14 вариантов я указал и 5 Ваших ($222229, 222299, 222999, 229999, 299999$). С точностью до перестановок.

[gris]

Dmitriy40, да, с точностью до перестановок — $19$. Но если формально отвечать на вопрос задачи, то условию удовлетворяют ровно $133$ числа. Там же, вроде бы, давалось четыре варианта ответа. Что, если это $1,14,19,133$? Что же выбрать? Интересно, как там у них принято