Доказать симметрию при масштабировании

[watmann]

Здравствуйте,

Есть следующий лагранжиан: $\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu \varphi \partial^\mu\varphi - \frac{1}{2}m^2\varphi^2-g\varphi^p$
Нужно определить при каких значениях $m$ и $p$ масштабирование пространства-времени будет симметрией данной теории.
Масштабирование пространства-времени:
$x^\mu \rightarrow \lambda x^\mu$
$\varphi(x^\mu) \rightarrow \lambda^{-1} \varphi(\lambda^{-1} x^\mu) $

Преобразование являет симметрией теории если при этом $\delta \mathcal{L}=\partial_\mu F^\mu$.

Найдем вариацию произвольного скалярного поля при условии бесконечно малого преобразования.
В таком случае: $\lambda \approx 1+\varepsilon$, $\lambda^{-1} \approx 1-\varepsilon$

$$\delta \varphi(x^\mu) =\varphi'(x^\mu)-\varphi(x^\mu)=( 1-\varepsilon) \varphi ((1-\varepsilon)x^\mu)-\varphi(x^\mu)\approx (1-\varepsilon) (\varphi(x^\mu)-\varepsilon x^\mu \partial_\mu \varphi (x^\mu))-\varphi(x^\mu)=$$ $$=\varphi(x^\mu)-\varepsilon\varphi(x^\mu)-\varepsilon x^\mu \partial_\mu \varphi (x^\mu)+\varepsilon\varepsilon x^\mu \partial_\mu \varphi (x^\mu)-\varphi(x^\mu)\approx-\varepsilon(\varphi+\varepsilon x^\mu \partial_\mu \varphi(x^\mu))=-\varepsilon \partial_\mu(x^\mu \varphi)$$

Лагранжиан изменяется также как и произвольное скалярное поле:
$\delta \mathcal{L}=-\varepsilon \partial_\mu(x^\mu \varphi)$

Что доказывает что масштабирование является симметрией теории.

И вот тут я не могу понять какой ответ об $m$ и $p$ от меня хотят?
Возможно ли что намекается на внутреннюю симметрию (internal symmetry)?

Спасибо за совет и помощь.

[Eule_A]

watmann
Я немного подправил вид Ваших формул. Посмотрите, как это было сделано - так смотрится несколько лучше, не правда ли?
И ещё, в преобразовании поля у Вас, видимо буква $\varphi$ ещё предполагается, но это уж исправьте сами.

[watmann]

Eule_A
Спасибо большое. Стало конечно же лучше. Но видимо, я пропустила время когда я ещё могла редактировать, потому что сейчас уже не вижу кнопки редактирования (и да, в преобразовании поля пропущено само поле ).
Как-то можно отредактировать сейчас? Или это теперь только администрация может делать?

[Eule_A]

watmann
Не за что. Поправил преобразование поля.

[Erleker]

watmann в сообщении #1263421 писал(а):

Лагранжиан изменяется также как и произвольное скалярное поле:

Почему вы так думаете? Его вариация не обязательно равна (пропорциональна) вариации поля. Вам тут нужно понять, при каких константах его вариация будет производной какого-то векторного поля ( и вы показали, что вариация скалярного поля будет равна подобной производной).

[Gickle]

Тут уже верно подсказали, что нужно, вообще говоря, смотреть, что получится при $L[\varphi + \delta\varphi]$, например. Вы, кстати, с преобразованием поля не соврали ли? У него размерность должна быть $[\varphi] = \frac{d-2}{2}$ вроде как, что намекает на то, как масштабное преобразование действует на него.