Проверка свойств операции сложения на множестве

[gogoshik]

Банальный дурацкий вопрос. Есть множество целых чисел не меньших $-3$ с операцией сложения. Какие из следующих свойств не выполняются для операции сложения: сложение коммутативно и сложение ассоциативно?
Я почему то подумал, что оба не выполняются, так как множество содержит элементы для которых применение операции выводит нас за пределы множества ($-3 + (-2) = -2 + (-3) = -5$ или $(1+(-3))+(-3) = 1+(-3+(-3)) = -5$, но $-5$ не является элементом данного множества). Мне пришла мысль, что проверка свойств делается на замкнутом относительно операции множестве. Оказывается оба свойства выполняются, вот не пойму почему это вдруг так, а не как я предполагал?

[lek]

Замените в вашем примере 1 на 3.

[arseniiv]

gogoshik в сообщении #1263632 писал(а):

Мне пришла мысль, что проверка свойств делается на замкнутом относительно операции множестве.

Скорее, для операции, замкнутой на множестве, а точнее просто операции, ибо замкнутость входит в её определение — это некая функция $A^n\to A$. Хотя никто не запретит проверять ассоциативность функции, не являющейся операцией на том, на чём она должна бы, лучше не тратить время зря, когда известно, что она всё же не операция.

gogoshik в сообщении #1263632 писал(а):

Оказывается оба свойства выполняются, вот не пойму почему это вдруг так, а не как я предполагал?

Так ведь целочисленная операция $+$ ассоциативна и коммутативна — вот $(a+b)+c = a+(b+c)$ и $a+b = b+a$ и будут выполняться для всех $a,b,c\in X$, какое бы $X\subset\mathbb Z$ мы ни взяли, как прямейшее следствие.

[gogoshik]

Ну хорошо. Вот посмотрел учебные пособия. По определению под бинарной алгебраической операцией на множестве $A$ понимается отображение $f:A \times A \to A$ для $\forall a,b \in A$. На множестве $A$ выделено, так как для любой упорядоченной пары $(a, b)$ после выполнения операции должно найтись соответствие с каким то элементом того же множества $A$ (по определению). Иногда пишут, что есть внутренние бинарные операции, а есть внешние --- $ f: A \times A \to B$ (в этом случае упорядоченной паре элементов одного множества $A$ ставится в соответствие элемент другого множества $B$). Бинарная операция и соответственно свойства операции могут быть определены не для всех упорядоченных пар. Я думаю, что в данной задаче указанные свойства операции сложения выполняются не для всех пар элементов заданного множества (множество целых чисел не меньших $-3 $) и однозначно ответить на вопрос нельзя.

[Walker_XXI]

gogoshik в сообщении #1263803 писал(а):

Я думаю, что в данной задаче указанные свойства операции сложения выполняются не для всех пар элементов заданного множества (множество целых чисел не меньших $-3 $) и однозначно ответить на вопрос нельзя

Если свойство выполняется не для всех элементов множества, то ответ однозначен: рассматриваемое множество данным свойством не обладает. В Вашем случае операция сложения определена не для всех элементов множества. Встаёт вопрос: будете доопределять каким-то образом операцию (возможно ценой её свойств), либо рассматривать операцию, как внешнюю? В последнем случае, естественно, теряется свойство ассоциативности (хотя, не всё так просто - мы можем рассмотреть естественное вложение Вашего множества в $\mathbb{Z}$ и тогда уже говорить об ассоциативности). Выбор за Вами.

[arseniiv]

gogoshik в сообщении #1263803 писал(а):

По определению под бинарной алгебраической операцией на множестве $A$ понимается отображение $f:A \times A \to A$ для $\forall a,b \in A$.

«Для $\forall a,b \in A$» тут совершенно лишнее (понятно ли, почему?).

gogoshik в сообщении #1263803 писал(а):

Иногда пишут, что есть внутренние бинарные операции, а есть внешние --- $ f: A \times A \to B$ (в этом случае упорядоченной паре элементов одного множества $A$ ставится в соответствие элемент другого множества $B$).

Не обязательно другого, и внешние операции — это уже обобщение просто операций. Так можно дойти до операций на нескольких носителей и т. д., но у них уже специфические области применения. Обычно аргументы и значения операций — элементы одного и того же множества, а исключения оговариваются. В таком случае $+|_{\mathbb Z_{\geqslant-3}\times\mathbb Z_{\geqslant-3}}$ — не операция на $\mathbb Z_{\geqslant-3}$, так как значения вылезают за его пределы.

gogoshik в сообщении #1263803 писал(а):

Я думаю, что в данной задаче указанные свойства операции сложения выполняются не для всех пар элементов заданного множества (множество целых чисел не меньших $-3 $) и однозначно ответить на вопрос нельзя.

Мне казалось естественным ограничение операции на $A$ понимать как ограничение функции на $A^{\text{арность операции}}$. Тогда ограничение ассоциативной/коммутативной будет ассоциативным/коммутативным, даже если не будет операцией. Ну, кому как.

[bot]

gogoshik. Это терминологический вопрос. Аналог: произведение матриц ассоциативно, то есть если для матриц $A, B$ и $C$ определено одно из произведений $A\cdot BC$ или $AB\cdot C$, то определено и другое и имеет место равенство $A\cdot BC=AB\cdot C$.
В Вашем случае для коммутативности это сойдёт, а для ассоциативности нужно потребовать больше: если определены обе части равенства ...
Для умножения матриц тоже потребуется второй вариант, если сложение и(или) умножение определено лишь частично на множестве, допустимом в качестве элементов матрицы.