2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мазманаческий четырёхугольник
Сообщение08.11.2017, 10:53 
Аватара пользователя


01/12/11
6808
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Назовём четырёхугольник, изображённый на клетчатой бумаге (длину стороны клетки принять за 1), мазманаческим, если все его вершины лежат в узлах, а длины всех его сторон - попарно различные простые числа.

Какой наименьший периметр может иметь мазманаческий четырёхугольник?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мазманаческий четырёхугольник
Сообщение08.11.2017, 15:05 
Заслуженный участник


18/01/12
920
26 (= 3 + 5 + 7 + 11). :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Мазманаческий четырёхугольник
Сообщение08.11.2017, 15:35 
Аватара пользователя


01/12/11
6808
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
hippie в сообщении #1263441 писал(а):
26 (= 3 + 5 + 7 + 11). :D

Задача родилась вот из этой:
http://problems.ru/view_problem_details ... p?id=66204
У них в ответе периметр равен 42, а у меня получилось как раз 26:
Изображение

И мне конопляжется, что меньше действительно нельзя.
Осталось только доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мазманаческий четырёхугольник
Сообщение08.11.2017, 16:17 
Заслуженный участник


20/08/14
4545
Россия, Москва
Набросок доказательства.
Если хотим периметр меньше, то необходимо использовать число $2$ взамен любого из чисел $3,5,7,11$.
Раз все вершины находятся в узлах сетки, то каждая сторона должна быть или параллельна осям координат (и тогда длина может принимать любое целое значение) или входить в Пифагорову тройку (причём лишь как гипотенуза). Ни одно из чисел $2,3,7,11$ данному условию не удовлетворяют и следовательно должны быть параллельными осям координат.
Если мы исключим число $5$, то все 4 стороны окажутся параллельными осям координат, что при попарном неравенстве сторон невозможно. Значит число $5$ исключать нельзя.
Рассмотрим может ли сторона $5$ быть параллельной осям координат. Учитывая параллельность осям остальных сторон такое тоже невозможно. Значит сторона длиной $5$ единственная непараллельная осям координат.
Для получения длины стороны $5$ нужно иметь одновременно разность других сторон $4$ и сторону равную $3$ (стороны $4$ быть не может по условию). Найдём все возможные разности равные $4$: $11-7=4$, $7-3=4$, других нет. Разность $7-3=4$ использовать невозможно т.к. в ней задействованы оба необходимых числа $3$ и $4$, а они нужны в перпендикулярных сторонах. Остаётся лишь единственный вариант $11-7$ и отдельно сторона $3$. Значит четырёхугольник содержит стороны $3, 5, 7, 11$. А такой уже построен. ЧТД.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мазманаческий четырёхугольник
Сообщение08.11.2017, 17:01 
Аватара пользователя


01/12/11
6808
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Dmitriy40
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Мазманаческий четырёхугольник
Сообщение08.11.2017, 17:26 
Заслуженный участник


12/09/10
1503
Сумма квадратов разностей той же четности, что и просто сумма тех же разностей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group