Мазманаческий четырёхугольник

[Ktina]

Назовём четырёхугольник, изображённый на клетчатой бумаге (длину стороны клетки принять за 1), мазманаческим, если все его вершины лежат в узлах, а длины всех его сторон - попарно различные простые числа.

Какой наименьший периметр может иметь мазманаческий четырёхугольник?

[hippie]

26 (= 3 + 5 + 7 + 11).

[Ktina]

hippie в сообщении #1263441 писал(а):

26 (= 3 + 5 + 7 + 11).

Задача родилась вот из этой:
http://problems.ru/view_problem_details ... p?id=66204
У них в ответе периметр равен 42, а у меня получилось как раз 26:


И мне конопляжется, что меньше действительно нельзя.
Осталось только доказать.

[Dmitriy40]

Набросок доказательства.
Если хотим периметр меньше, то необходимо использовать число $2$ взамен любого из чисел $3,5,7,11$.
Раз все вершины находятся в узлах сетки, то каждая сторона должна быть или параллельна осям координат (и тогда длина может принимать любое целое значение) или входить в Пифагорову тройку (причём лишь как гипотенуза). Ни одно из чисел $2,3,7,11$ данному условию не удовлетворяют и следовательно должны быть параллельными осям координат.
Если мы исключим число $5$, то все 4 стороны окажутся параллельными осям координат, что при попарном неравенстве сторон невозможно. Значит число $5$ исключать нельзя.
Рассмотрим может ли сторона $5$ быть параллельной осям координат. Учитывая параллельность осям остальных сторон такое тоже невозможно. Значит сторона длиной $5$ единственная непараллельная осям координат.
Для получения длины стороны $5$ нужно иметь одновременно разность других сторон $4$ и сторону равную $3$ (стороны $4$ быть не может по условию). Найдём все возможные разности равные $4$: $11-7=4$, $7-3=4$, других нет. Разность $7-3=4$ использовать невозможно т.к. в ней задействованы оба необходимых числа $3$ и $4$, а они нужны в перпендикулярных сторонах. Остаётся лишь единственный вариант $11-7$ и отдельно сторона $3$. Значит четырёхугольник содержит стороны $3, 5, 7, 11$. А такой уже построен. ЧТД.

[Ktina]

Dmitriy40
Большое спасибо!

[Cash]

Сумма квадратов разностей той же четности, что и просто сумма тех же разностей.