2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мазманаческий четырёхугольник
Сообщение08.11.2017, 10:53 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Назовём четырёхугольник, изображённый на клетчатой бумаге (длину стороны клетки принять за 1), мазманаческим, если все его вершины лежат в узлах, а длины всех его сторон - попарно различные простые числа.

Какой наименьший периметр может иметь мазманаческий четырёхугольник?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мазманаческий четырёхугольник
Сообщение08.11.2017, 15:05 
Заслуженный участник


18/01/12
933
26 (= 3 + 5 + 7 + 11). :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Мазманаческий четырёхугольник
Сообщение08.11.2017, 15:35 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
hippie в сообщении #1263441 писал(а):
26 (= 3 + 5 + 7 + 11). :D

Задача родилась вот из этой:
http://problems.ru/view_problem_details ... p?id=66204
У них в ответе периметр равен 42, а у меня получилось как раз 26:
Изображение

И мне конопляжется, что меньше действительно нельзя.
Осталось только доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мазманаческий четырёхугольник
Сообщение08.11.2017, 16:17 
Заслуженный участник


20/08/14
12229
Россия, Москва
Набросок доказательства.
Если хотим периметр меньше, то необходимо использовать число $2$ взамен любого из чисел $3,5,7,11$.
Раз все вершины находятся в узлах сетки, то каждая сторона должна быть или параллельна осям координат (и тогда длина может принимать любое целое значение) или входить в Пифагорову тройку (причём лишь как гипотенуза). Ни одно из чисел $2,3,7,11$ данному условию не удовлетворяют и следовательно должны быть параллельными осям координат.
Если мы исключим число $5$, то все 4 стороны окажутся параллельными осям координат, что при попарном неравенстве сторон невозможно. Значит число $5$ исключать нельзя.
Рассмотрим может ли сторона $5$ быть параллельной осям координат. Учитывая параллельность осям остальных сторон такое тоже невозможно. Значит сторона длиной $5$ единственная непараллельная осям координат.
Для получения длины стороны $5$ нужно иметь одновременно разность других сторон $4$ и сторону равную $3$ (стороны $4$ быть не может по условию). Найдём все возможные разности равные $4$: $11-7=4$, $7-3=4$, других нет. Разность $7-3=4$ использовать невозможно т.к. в ней задействованы оба необходимых числа $3$ и $4$, а они нужны в перпендикулярных сторонах. Остаётся лишь единственный вариант $11-7$ и отдельно сторона $3$. Значит четырёхугольник содержит стороны $3, 5, 7, 11$. А такой уже построен. ЧТД.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мазманаческий четырёхугольник
Сообщение08.11.2017, 17:01 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Dmitriy40
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Мазманаческий четырёхугольник
Сообщение08.11.2017, 17:26 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Сумма квадратов разностей той же четности, что и просто сумма тех же разностей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group