Помогите найти сумму ряда/установить верное тождество

[Hayka-ckyka]

Помогите, пожалуйста, в решении задачи:

$$\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2{\frac{\pi\cdot k}{n}}}=?$$

Я уже пробовал:
1) В ожидании что все красиво свернется, порубается и останутся, например, что-то от последнего и первого членов ряда, я группировал слагаемые, приводил к общему знаменателю, далее по тригонометрическим формулам работал. К сожалению, не сворачивается.
2) Как в случае с рядом

$$\sum\limits_{k=1}^{n}\sin{(k\cdot x)}$$

домножаем на $\sin\frac{x}{2}$
думал, что нужно на что-то домножить этот ряд и привести выражение к виду $A(k+1)-A(k)$. Но здесь функция в знаменателе, и я думаю из-за этого так сделать не выйдет.
3) Пробовал воспользоваться тождеством

$$\prod\limits_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi\cdot k}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$$

Знаменатель прекрасно сворачивается (если приводить все к общему), но в числителе получается (n-1) слагаемое, которое почти представляет собой написанное произведение, но без одного множителя(в каждом слагаемом разного). Так тоже не получилось.

Пока я установил тривиальное

$$\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2{\frac{\pi\cdot k}{n}}} = n-1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\ctg^2{\frac{\pi\cdot k}{n}}$$

Не знаю, как решить. Причем по опыту решения задач из источника, решение должно быть довольно быстрым и изящным (с фишкой какой-то). Но я не вижу ни изящного ни тупого технического решения.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[RIP]

topic6340.html
topic23868.html

[DeBill]

Hayka-ckyka
Для половины суммы имеем: $\frac{S}{2 } = \sum\limits_{}^{} \frac{1}{1 -\cos \frac{2\pi k}{n}}$
Это похоже на сумму $s(x) = \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x-x_k} $,при $x=1$ и $x_k = \cos \frac{2\pi k}{n}$. Если в этой сумме привести подобные (как Вы и делали), то в знаменателе получится $f(x) =\prod\limits_{}^{} (x-x_k) $, а в числителе - его производная $f'(x)$ (так что вся дробь -"логарифмическая производная" - то бишь, производная от логарифма $f$).
Осталось определить, кто есть $f(x)$. Понятно, что это - многочлен Чебышева (почти).
( Если $\cos nt$ раскрыть, и все выразить через косинусы, то вот он и получается. Так что $\cos nt =P_n (\cos t)$. В частности, для всех наших $x_k$ имеем $P_n(x_k)=1$). Вот только степень у $P_n$ на единичку больше, да корень $x_0 =1$
- лишний. Так что (с точностью до константы - а она нам, кстати, и не нужна, потому как сократится она в нашей дроби) $f(x) =\frac{P_n(x)-1}{x-1}$.
Или, используя определение мн-на Чебышева, $f(\cos t)= \frac{\cos nt-1}{\cos t - 1}$.
Дифференцируя это равенство и подставляя $t=0$ (после раскрытия неопределенностей), получим ответ.
(Чуть легче делать - по Тейлору: $f(1-\frac{t^2}{2}+...) = \frac{1-\frac{n^2t^2}{2}+\frac{n^4t^4}{24} +...-1}{1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+... -1} = n^2 - n^2t^2\frac{n^2-1}{12}$, так что $f(1) = n^2 $ и $f'(1)=n^2 \frac{n^2-1}{6}$, откуда и получим ответ).
Конечно, это решение вполне себе совпадает с решениями, приведенными в топике, указанном RIP. А приведено тут токо за ради того, чтобы было понятно, откуда у него ноги растут...