Интеграл с иррациональностью x*sqrt{ (x-1)/(x+1) }

[rar]

Нужно найти интеграл: $\int_{}{} x\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$
При подстановке $t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$, получается вот это: $-4\int_{}{} \frac{t^3+t^2}{(t^2-1)^3}dt$.
Видимо, это не выход... Как думаете?

[id]

rar
А почему не выход-то?

[rar]

Потому что слишком сложно интегрировать получившееся выражение.

[id]

rar
А простейшие?

[RIP]

Если воспользоваться тем, что $x\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{x(x-1)}{\sqrt{x^2-1}}$, то станет попроще.

[rar]

Спасибо, попробую.

[Someone]

rar писал(а):

Нужно найти интеграл: $\int_{}{} x\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$
При подстановке $t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$, получается вот это: $-4\int_{}{} \frac{t^3+t^2}{(t^2-1)^3}dt$.

По-моему, там в числителе должно быть не $t^3$, а $t^4$.

Дальше можно один раз проинтегрировать по частям, чтобы уменьшить показатель степени в знаменателе. Получится интеграл от дроби $\frac{1+3t^2}{(1-t^2)^2}$, который можно разбить на два интеграла, используя равенство $1+3t^2=(1-t^2)+4t^2$. Во втором из них опять применить формулу интегрирования по частям, чтобы понизить степень в знаменателе.

Добавлено спустя 2 минуты 35 секунд:

RIP писал(а):

Если воспользоваться тем, что $x\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{x(x-1)}{\sqrt{x^2-1}}$, то станет попроще.

Это при $x>1$. А при $x<-1$ знак будет противоположный.

[rar]

Все это слишком сложно, для обычного примера из учебника. Там тема "интегрирование выражений с иррациональностями". Или авторы такие умные...

Добавлено спустя 18 секунд:

Ничего, попробую как вы сказали...

[RIP]

Если использовать замену $t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$, то да, приятного мало (зато полезно). Если воспользоваться моей подсказкой (с учётом поправки Someone), то задача становится устной (при условии, что интегралы вида $\int(x^2+ax+b)^{\pm1/2}dx$ считаются известными).