2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл с иррациональностью x*sqrt{ (x-1)/(x+1) }
Сообщение12.06.2008, 05:35 
Нужно найти интеграл: $\int_{}{} x\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$
При подстановке $t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$, получается вот это: $-4\int_{}{} \frac{t^3+t^2}{(t^2-1)^3}dt$.
Видимо, это не выход... Как думаете?

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 05:39 
rar
А почему не выход-то?

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 05:41 
Потому что слишком сложно интегрировать получившееся выражение.

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 05:56 
rar
А простейшие?

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 06:06 
Аватара пользователя
Если воспользоваться тем, что $x\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{x(x-1)}{\sqrt{x^2-1}}$, то станет попроще.

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 06:23 
Спасибо, попробую.

 
 
 
 Re: Интеграл с иррациональностью (помогите найти)
Сообщение12.06.2008, 12:03 
Аватара пользователя
rar писал(а):
Нужно найти интеграл: $\int_{}{} x\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$
При подстановке $t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$, получается вот это: $-4\int_{}{} \frac{t^3+t^2}{(t^2-1)^3}dt$.


По-моему, там в числителе должно быть не $t^3$, а $t^4$.

Дальше можно один раз проинтегрировать по частям, чтобы уменьшить показатель степени в знаменателе. Получится интеграл от дроби $\frac{1+3t^2}{(1-t^2)^2}$, который можно разбить на два интеграла, используя равенство $1+3t^2=(1-t^2)+4t^2$. Во втором из них опять применить формулу интегрирования по частям, чтобы понизить степень в знаменателе.

Добавлено спустя 2 минуты 35 секунд:

RIP писал(а):
Если воспользоваться тем, что $x\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{x(x-1)}{\sqrt{x^2-1}}$, то станет попроще.


Это при $x>1$. А при $x<-1$ знак будет противоположный.

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 16:00 
Все это слишком сложно, для обычного примера из учебника. Там тема "интегрирование выражений с иррациональностями". Или авторы такие умные...

Добавлено спустя 18 секунд:

Ничего, попробую как вы сказали...

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 16:11 
Аватара пользователя
Если использовать замену $t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$, то да, приятного мало (зато полезно). Если воспользоваться моей подсказкой (с учётом поправки Someone), то задача становится устной (при условии, что интегралы вида $\int(x^2+ax+b)^{\pm1/2}dx$ считаются известными).

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group