Решение одномерного уравнения Шредингера

[reterty]

Дорого времени суток!
У меня есть стационарное одномерное уравнение Шредингера с известным потенциалом.
После простейших преобразований оно сводится к виду:
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+[k^2-\alpha^2 \exp(-1/x)]\psi=0$, (1)
где $x\geq 0$, $k, \alpha>0$ ($\alpha>k$).
Мне необходимо получить частное решение этого уравнения при асимптотическом граничном условии ${\psi_{x\to \infty}}\to 0$.
Уравнение (1) является обыкновенным линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с переменным коэффициентом.
Насколько я понимаю, решение таких уравнений с переменными а не постоянными коэффициентами является скорее искусством, нежели процедурой с четким алгоритмом.
Я пытался решить это уравнение путем различных факторизаций неизвестной функции; делал различные замены переменной.
Но так и не сумел привести это уравнение к одному из известных в литературе видов. Пытался я также использовать метод Лапласа, но моих знаний и опыта в этой области
явно недостаточно. Наконец, я пытался найти этот вид ОДУ у Полянина и Зайцева, но так и не нашел (может быть, плохо искал).
Буду признателен за любую помощь в решении этого уравнения.
P. S. Maple и Mathematica не выдали его решения. Численное решение этого уравнения (по крайней мере на данном этапе меня не интересует)

[pogulyat_vyshel]

reterty в сообщении #1262820 писал(а):

уравнения при асимптотическом граничном условии ${\psi_{x\to \infty}}\to 0$.

$\psi\equiv 0$ устроит?
ну а вообще при больших $x$ тривиальное решение делается гиперболическим так, что в пространстве $(\psi,\psi' ,t)$ там целое двумерное многообразие решений с указанной асимптотикой

-- 06.11.2017, 21:48 --

reterty в сообщении #1262820 писал(а):

Насколько я понимаю, решение таких уравнений с переменными а не постоянными коэффициентами является скорее искусством

Вы неправильно понимаете, дифференциальные уравнения просто не имеют привычки интегрироваться в квадратурах, привыкните к этому и все

[g______d]

pogulyat_vyshel в сообщении #1262852 писал(а):

в пространстве $(\psi,\psi' ,t)$ там целое двумерное многообразие решений с указанной асимптотикой

С указанной -- одномерное, а не двумерное. Второе решение будет расти на бесконечности хотя бы из вронскиана.

[pogulyat_vyshel]

g______d в сообщении #1262866 писал(а):

С указанной -- одномерное, а не двумерное

вы просто не понимаете разницы между пространством начальных условий и расширенным фазовым пространством, которое трехмерно. в трехмерном расширенном фазовом пространстве устойчивое и неустойчивое двумерные многообразия пересекаются по прямой $\psi=\psi'=0$

-- 06.11.2017, 23:11 --

по слогам попробую объяснить: берете ваше одномерное многообразие и тянете фазовым потоком вдоль оси $x$ в пространстве $(\psi,\psi', x)$ получаете двумерноем многообразие в $(\psi,\psi', x)$. Что такое двумерное многообразие объяснить?

[reterty]

Единственное, что удалось "нарыть" в Камке это то что такое уравнение называется нормальным (приведенным) уравнением однородным второго порядка.
Функция в скобках -его инвариант

[g______d]

pogulyat_vyshel в сообщении #1262870 писал(а):

вы просто не понимаете разницы между пространством начальных условий и расширенным фазовым пространством, которое трехмерно. в трехмерном расширенном фазовом пространстве устойчивое и неустойчивое двумерные многообразия пересекаются по прямой $\psi=\psi'=0$

-- 06.11.2017, 23:11 --

по слогам попробую объяснить: берете ваше одномерное многообразие и тянете фазовым потоком вдоль оси $x$ в пространстве $(\psi,\psi', x)$ получаете двумерноем многообразие в $(\psi,\psi', x)$. Что такое двумерное многообразие объяснить?

Зачем вообще это нужно в линейном случае, если всё описывается в терминах пространства решений, которое линейно и двумерно?

-- Пн, 06 ноя 2017 12:21:34 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1262870 писал(а):

по слогам попробую объяснить: берете ваше одномерное многообразие и тянете фазовым потоком вдоль оси $x$ в пространстве $(\psi,\psi', x)$ получаете двумерноем многообразие в $(\psi,\psi', x)$. Что такое двумерное многообразие объяснить?

По-моему, вы просто плохо понимаете, что такое решение. Это одномерная кривая в вашем фазовом пространстве. Пространство всех возможных таких кривых двумерно (поскольку есть однозначное соответствие между решением и элементом пространства начальных условий). Пространство всех таких кривых с заданной убывающей асимптотикой одномерно (при ограничениях, наложенных ТС).

-- Пн, 06 ноя 2017 12:27:14 --

Вы, очевидно, имеете в виду "объединение всех указанных кривых двумерно", что верно, но не имеет отношения к делу.

[pogulyat_vyshel]

g______d в сообщении #1262877 писал(а):

Зачем вообще это нужно в линейном случае, если всё описывается в терминах пространства решений, которое линейно и двумерно?

зачем это нужно это не вопрос математики, это вопрос ваших взглядов на методику изложения, а они мне, простите, неинтересны. С математической точки зрения ваш предыдущий коммент на мой пост является ошибочным.

g______d в сообщении #1262877 писал(а):

По-моему, вы просто плохо понимаете, что такое решение. Это одномерная кривая в вашем фазовом пространстве

и вот вы опять путаете разные объекты, советую всетаки ознакомиться с понятием асимптотическое многообразие

[Red_Herring]

Следует отметить, что потенциал $\alpha^2 \exp (-1/x)$ (именно такой знак при стандартной записи с минусом перед второй производной) равен 0 в 0 и растет до $\alpha^2 $ на бесконечности. Т.е. имеет место потенциальная яма, и поведение решений будет разным при $0<k<\alpha$ и $k>\alpha$.

В первом случае одно решение будет убывать, а второе (и все остальные) расти на бесконечности. Во втором убывающих решений скорее всего вообще не будет, но будут два решения, похожие на $e^{\pm ikx}$.

Если бы было граничное условие (т.ч. оператор самосопряжен) при $x=0$, то был бы дискретный спектр ниже $\alpha^2 $, и непрерывный выше. Поскольку на потенциал на бесконечности ведет себя как $\alpha^2 (1-1/x)$, то дискретный спектр накапливался бы к $\alpha^2 $

[g______d]

pogulyat_vyshel в сообщении #1262881 писал(а):

и вот вы опять путаете разные объекты, советую всетаки ознакомиться с понятием асимптотическое многообразие

При чём это здесь? Ещё раз: из контекста поста ТС, решение -- это не тройка $(x,\psi(x),\psi'(x))$, а функция на $\mathbb R_+$ или кривая в пространстве таких троек.

Я очень надеюсь, что вы объясните, каким именно образом пространство всех функций на $\mathbb R_+$, решающих данное уравнение и имеющих асимптотику $\psi(x)\to 0$ при $x\to +\infty$, взаимно однозначно отображается на что-то двумерное, или смените тон.

[reterty]

Red_Herring в сообщении #1262883 писал(а):

Следует отметить, что потенциал $\alpha^2 \exp (-1/x)$ (именно такой знак при стандартной записи с минусом перед второй производной) равен 0 в 0 и растет до $\alpha^2 $ на бесконечности. Т.е. имеет место потенциальная яма, и поведение решений будет разным при $0<k<\alpha$ и $k>\alpha$.

В первом случае одно решение будет убывать, а второе (и все остальные) расти на бесконечности. Во втором убывающих решений скорее всего вообще не будет, но будут два решения, похожие на $e^{\pm ikx}$.

Если бы было граничное условие (т.ч. оператор самосопряжен) при $x=0$, то был бы дискретный спектр ниже $\alpha^2 $, и непрерывный выше. Поскольку на потенциал на бесконечности ведет себя как $\alpha^2 (1-1/x)$, то дискретный спектр накапливался бы к $\alpha^2 $

Уважаемый Red_Herring! В условии я написал что $k<\alpha$, т.е меня интересует именно дискретный спектр (уровни в яме) а не сплошной спектр над нею.
Это действительно квантовая яма-яма симметричная, но чтобы не усложнять суть дела яограничился положительными значениями $x$ и опустил в экспоненте знак модуля у $x$.

[amon]

Насколько я понял, уважаемый reterty пытается решить спектральную задачу для уравнения Шредингера с потенциалом $V=\alpha^2e^{-\frac{1}{x}}.$ При этом, непонятно, на всей прямой это действо происходит, или только на полупрямой. Потенциал выбран удивительно хреновый, и, IMHO, ни к чему приличному такая задача не сведется.

[g______d]

На самом деле, если не ругаться, можно ввести новый спектральный параметр $\lambda=k^2-\alpha^2<0$, пусть $\mu=\sqrt{-\lambda}$

тогда

$$ f(x)=e^{-\mu x}+\int_x^{+\infty}\frac{\sin(\mu(x-y))}{\mu} u(y)f(y)\,dy, $$

где $u(x)=\alpha^2 e^{-1/x}-\alpha^2$, и это интегральное уравнение можно решать методом итераций, начиная с $f=0$, оно будет сходиться достаточно быстро.

[Red_Herring]

reterty в сообщении #1262886 писал(а):

условии я написал что $k<\alpha$, т.е меня интересует именно дискретный спектр (уровни в яме) а не сплошной спектр над нею

Не заметил. Но без граничного условия при $x=0$ у Вас нет самосопряженного оператора и потому о спектре говорить не приходится.

В любом случае рассчитывать на явное решение не приходится (в этом, и только в этом pogulyat_vyshel прав).

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1262889 писал(а):

Не заметил. Но без граничного условия при $x=0$ у Вас нет самосопряженного оператора и потому о спектре говорить не приходится.

Это в каком-то смысле делает задачу проще, потому что решение Йоста всегда существует.

[reterty]

amon в сообщении #1262887 писал(а):

Насколько я понял, уважаемый reterty пытается решить спектральную задачу для уравнения Шредингера с потенциалом $V=\alpha^2e^{-\frac{1}{x}}.$ При этом, непонятно, на всей прямой это действо происходит, или только на полупрямой. Потенциал выбран удивительно хреновый, и, IMHO, ни к чему приличному такая задача не сведется.

Это неплохой потенциал в том смысле, что рассматривается размытая ступенька (более реальное приближение) , причем в пределе больших $x$ она дает оголенный потенциал силы зеркального изображения в плоском двумерном слое гетероструктуры........ ну а с разницами масс в слое и за его пределами разберемся позже. Думаю, тут можно граничиться ступенчатой аппроксимацией. Кстати, этот потенциал на границах ямы имеет перегиб, что также довольно правдоподобно (возвращающая сила имеет максимум).