"Глубинный смысл" математических понятий 2

[Metford]

lyaich
Линейная алгебра, действительно, может поначалу произвести несколько удручающее впечатление. Но если в ней как следует разобраться, да ещё через неё посмотреть на некоторые другие математические разделы, то впечатление исчезнет. Но это так - лирика. По существу.

lyaich в сообщении #1259571 писал(а):

Но процесс перемножения матрицы на матрицу совершенно другой. Аномальный, я бы даже сказал. Я не понимаю, что бы мы получили на выходе. И где произведение матриц вообще нужно.

Вот Вам конкретный пример. Представьте себе, что на плоскости задан некоторый вектор с компонентами $\{x,y\}$. Можно себе его представлять предельно просто - как "отрезок со стрелочкой". Если с этим вектором что-то нужно сделать (повернуть, например, или растянуть), то в координатной записи это сведётся к некоторому закону преобразования компонент. Такому примерно:

$$x'=a_{11}x+a_{12}y,\;y'=a_{21}x+a_{22}y\qquad (1).$$

Коэффициенты здесь - это какие-то числа. Какие - зависит от того, что с вектором происходит. Другое преобразование вектора на плоскости запишется аналогично:

$$x'=b_{11}x+b_{12}y,\;y'=b_{21}x+b_{22}y\qquad (2).$$

А теперь представьте себе, что Вам нужно выполнить эти два преобразования последовательно: сначала первое, а потом второе. Т.е. нужно будет взять величины $x',y'$ из (1) и подставить в правую часть (2). С другой стороны, можно подобрать сразу преобразование, которое приведёт к тому же результату, что и два последовательных преобразования. Поэтому при подстановке (1) в (2) получатся формулы того же типа. Так вот, попробуйте взять и руками выполнить подстановку (1) в (2). Когда это сделаете, то вычислите произведение двух матриц:

$$\begin{pmatrix} b_{11}& b_{12} \\ b_{21}& b_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} \\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix}.$$

Если проникнетесь результатами расчётов, то принимайтесь за серьёзное изучение линейной алгебры, пребывая в полной уверенности, что она Вам ещё пригодится. В помощь Вам книга Ефимова и Розендорна "Линейная алгебра и многомерная геометрия".

[Lia]

lyaich
Лучше бы Вы конкретизировали предмет своего интереса.
Вы о чем?
1. Об истории математики?
2. О линейной алгебре?
3. О чем-то еще?

Вы требуете просите привести литературу, толком не очертив границы, в которых она Вас интересует. Неудивительно, что разговор не складывается.

Итого: просьба четко и внятно изложить предмет собственной заинтересованности и обсуждения.

[Евгений Машеров]

lyaich в сообщении #1261725 писал(а):

Лучше бы не забавные примеры приводили, а литературу, от куда все это было вычитано. Или просто в конце сразу литературу оставлять хотя бы, хоть ладно уж, и со спойлерами)

(Оффтоп)

Отчего бы это мне моя кошка вспомнилась, которая шипит, когда вместо её любимого мягкого корма насыпают сухой?...

Литературы по истории математики полно. По методике изучения математики тоже. Затруднение тут от избытка, чтобы что-то конкретное Вам рекомендовать - стоило бы от Вас что-то конкретное узнать, уточнив запрос.
А "забавные примеры" для того, чтобы Вам дать понять, что исторические сведения пониманию изучаемого математического материала не помогут. Их бывает приятно читать, как отдых, не вполне отличающийся от основной деятельности (в виде аналогии - неспешная прогулка после стометровки), иногда они помогают почувствовать свою причастность к Великим - но вот по отношению к изучаемому в конкретном курсе материалу они делятся на две группы: которые никак не помогают понять и которые мешают понять.

[lyaich]

Lia
Евгений Машеров
Можно любую, или всю, которую знаете. Если честно, я уже объяснил, как мог:) Сейчас попробую еще раз. 1. там должны быть выводы формул, не только исторические факты, но и вся логика. 2. История от начала до конца (хотя бы до 20 века, чтобы видеть, как он использовался давным давно, а как сегодня), чтобы можно было видеть, что двигало людьми создать инструмент, или (даже если создали случайно) оставить инструмент, который был создан. 3. Вся информация об инструменте. Допустим, глава называется "матрица", то там содержится вся информация, все отсылки. Все, о чем думали математики того или нашего времени, что обсуждали, как пришли к каким-то заключениям (даже к таким заключениям, которые не нашли продолжения, о которых в современных учебниках и не напишут). Все это, чтобы сформировалась общая, самая точная, как это возможно, картина о матрице и любым другим инструментам. И я вот, сколько общаюсь с преподавателями, которые ведут математику, никто не интересовался этим. До сих пор этот факт не укладывается в голове. Неужели никому не интересно и не нужна эта информация. И почему же так сложно найти хотя бы похожую литературу. Если подобной не знаете, скажу еще раз, буду рад любой, которую знаете, которая будет хоть как-то похожа

[Dmitriy40]

И в результате это тянет на общий и подробнейший обзор всей математики вообще, плюс большей часть физики и компьютерных наук. Вы же желаете получить список всех работ, где применяются к примеру те же матрицы. Мрак. Это попросту нереально.

[Mikhail_K]

lyaich, мне кажется что Вы просите слишком многого. То, что Вы хотите, не поместится ни в одну книгу.

Посмотрите
Юшкевич. История математики, в 3 томах
Колмогоров, Юшкевич. Математика XIX века, в 3 томах
Прасолов. История математики

[grizzly]

lyaich
Вы сумеете понять по-английски (хотя бы с гуглопереводчиком)?
Если да, то посмотрите первую страницу этих ссылок. Ну и ещё, если будет желание. Это тонкие вопросы истории математики, не всегда они интересны самим математикам, но в наш век по любым интересам можно найти единомышленников.

Кстати, замечу, что в последние 3 года (примерно) качество гуглопереводчика стало на порядок лучше.

[SomePupil]

lyaich, ясно. Вам нужна Wikipedia.

-- 04.11.2017, 18:53 --

Вот статья про матриц, к примеру.

[Евгений Машеров]

Для начала замечу, что Вы, убоявшись трудностей обычного пути изучения, выбрали куда более долгий и тернистый. Вероятно, Вам кажется, что, повторяя вслед за первопроходцами их ошибки и сложности, Вы облегчите себе работу. Нет, это значит, что вместо чётких и простых доказательств Вам придётся иметь дело с запутанными, иногда неполными, а иногда повторяющимися рассуждениями переусложнённым языком, поскольку современные средства, позволяющие выразить сложные мысли сравнительно просто, появились после того, как появились понятия, для которых и выработаны были эти средства, а первопроходцы использовали то, что у них есть, пусть и не наилучшее для решаемых ими задач.
"Нет царского пути в геометрии" - но и в других разделах математики его не бывает.
Для того, чтобы оценить трудоёмкость Вашего пути, давайте рассмотрим небольшой математический объект - определитель. В обычном курсе он задаётся определением (объёмом от строчки до абзаца), несколькими абзацами, которые поясняют его значение для решения уравнений и связь с другими понятиями (скажем, с собственными значениями), и, возможно, его геометрической интерпретацией через объём многомерного тела. Вместе вряд ли наберётся на страницу. Томас Мюир написал пять томов, излагавших историческое развитие теории определителей, и умер, доведя четвертьвековой труд до работ 1920 года. То есть вместо одной страницы Вы проработаете две с половиной тысячи и не дойдёте до современного уровня, достигнув знания вековой давности.
Впрочем, не проще ли Вам убедиться самому - откройте ну хотя бы трёхтомную хрестоматию по истории математики под ред. Юшкевича и сравните, понятнее ли Вам рассуждения основоположников сравнительно с современным изложением тех же тем.