"Глубинный смысл" математических понятий 2

[lyaich]

Доброго времени суток. Забавное название взял из топика 12 года topic62316.html Меня привели сюда те же причины, что и автора той темы. Я так же хочу понять смысл матриц, векторов и проч. Я полностью согласен с тем автором, что нынче в учебниках всю информацию предоставляют сухо и без объяснений, как догму, которую остается только принять. Даже если захочешь оспорить, не будешь знать, с какой же стороны подойти. В прошлой теме был человек, который сказал, что изучение математики историческим способом не рациональна. Я же с ним полностью не согласен. Для меня важно понимать причину зарождения мат. инструментов. Сейчас попробую объяснить, что я имею ввиду. Перед тем, как продемонстрировать мат. инструмент, нужно паказать, над чем задумывались перед его зарождением. С чем столкнулись перед тем, как ввести понятие матрицы. На примере векторов, комплексные числа как-то связаны с появлением вектора, но я ничего не знаю о комплексных числах, и по этому объяснение появление вектора мне по прежнему не понятно. Так же, очень интересно узнать, как их (вектор и матрицу) применяли на приктике, когда они только зарождались. Далее, произведение векторов и произведение матриц. Я совершенно не понимаю, для чего это было нужно. Опять же, с чем столкнулись люди. Как они выводили формулы, мне важен сам процесс и их логика. Потому что в моем понятии матрица это массив, а если мы в экселе перемножаем массив времени на массив скорости, то получим массив пути и т.д. Но процесс перемножения матрицы на матрицу совершенно другой. Аномальный, я бы даже сказал. Я не понимаю, что бы мы получили на выходе. И где произведение матриц вообще нужно. И зачем нужно было тогда, когда это все придумывали. Не с пустого же места. А при прочтении учебника, возникает такое ощущение, что абсолютно с пустого места было все придуманно. В учебниках первым делом рассписываются типы матриц, и ни слова, почему был введен такой тип, такой термин. Ведь не зря ввели же, наверняка для удобства, потому что он часто используется... А где?.. Учебник умалчивает и сразу сует примеры для решения... Пишу я с целью, чтобы хоть кто-то посоветовал литературу, которая бы ответила мне на эти вопросы. Я уже устал рыть интернет в поисках ценной информации. А то везде на каждом шагу одно и то же суют.. Разумеется, я принял во внимание лит-ру, которая была в той теме, и я ее сейчас изучаю. Но спустя 5 лет может и есть что-то лучше) Кстати, "апология математики" Успенского я так и не нашел:( Надеюсь на вашу поддержку и помощь.

[rockclimber]

lyaich в сообщении #1259571 писал(а):

Кстати, "апология математики" Успенского я так и не нашел:( Надеюсь на вашу поддержку и помощь.

Вот же она!

lyaich в сообщении #1259571 писал(а):

Перед тем, как продемонстрировать мат. инструмент, нужно паказать, над чем задумывались перед его зарождением.

Это утверждение осталось недоказанным.

lyaich в сообщении #1259571 писал(а):

А при прочтении учебника, возникает такое ощущение, что абсолютно с пустого места было все придуманно.

Ну с пустого места и что? Куча разных прикольных штук была придумана просто от скуки. Но любим мы их не за это.

[SomePupil]

lyaich в сообщении #1259571 писал(а):

Перед тем, как продемонстрировать мат. инструмент, нужно паказать, над чем задумывались перед его зарождением.

Исторически до векторов появились кватернионы. А кватернионы придумал Гамильтон, проплывая под Брогемским мостом. Над чем он задумывался перед открытием? Ну он знал, что комплексные числа представляются в виде пар обычных чисел, и что их можно умножать. Он хотел аналогично умножать тройки чисел. Не получилось. Потом его осенило: надо умножать сразу четверки чисел.

ТС, скажите честно: такая информация Вам чем-нибудь полезна? А поможет ли Вам тонна такой информации, пусть и более детализированная?

lyaich в сообщении #1259571 писал(а):

Но процесс перемножения матрицы на матрицу совершенно другой. Аномальный, я бы даже сказал.

На самом деле, он даже самый естественный. В определенном смысле. Хотя, чего это я это драматизирую, через них представляется композиция линейных отображений, вот и все.

lyaich в сообщении #1259571 писал(а):

В учебниках первым делом рассписываются типы матриц, и ни слова, почему был введен такой тип, такой термин.

Значит, это плохие учебники. Их надо удалить и сжечь.

В хороших учебниках всегда говорят о связи матриц с линейными отображениями. Простейшее линейное отображение $-$ линейная функция, грубо говоря, представляемая прямой, проходящей через начало координат. Ей соответствует простенькая матрица с единственным элементом. Можете считать, что это прототип линейных отображений на плоскости и в пространстве, да и в любой размерности. Как видите, тут подключается также геометрическая интуиция.

P. S. Настоящее веселье начинается, когда начинают подсчитывать длины векторов/вводят скалярные произведения. По-научному это называется "нормированные векторные пространства", а от скалярных произведений до функана $-$ пару шагов только. Вот там начинается годный матан. Но младшекурсникам об этом не говорят, потому что... у ректора лежат рабочие программы дисциплин, у деканата есть рабочие программы дисциплин, у преподов тоже есть рабочие программы дисциплин; они $-$ рабочие программисты дисциплин... Связанные по рукам и ногам, они боятся, что студенты недополучат баллы по стандартной программе. Недополучат и лопнут. Вот так вот.

[arseniiv]

lyaich в сообщении #1259571 писал(а):

Но процесс перемножения матрицы на матрицу совершенно другой. Аномальный, я бы даже сказал.

Об этом как раз много где спрашивали и писали, в ответ и просто так. Одно из мест, откуда берутся матрицы — линейные операторы. Матрица произведения линейных операторов — произведение матриц этих операторов. Вот оттуда и вид. И, между прочим, другие виды произведения у матриц тоже бывают.

SomePupil в сообщении #1259589 писал(а):

В хороших учебниках всегда говорят о связи матриц с линейными отображениями.

Ну, кроме того, они связаны и с элементами какого-нибудь $V\otimes V$, а матрицы из нулей и единиц связаны с произвольными бинарными отношениями — впрочем, там, конечно, есть связь с предыдущими, иначе было бы странно, почему произведение à la линейный оператор к ним относится, и с матрицами перехода цепей Маркова то же.

[Mikhail_K]

lyaich, я согласен с Вами в том, что изучение каждого математического понятия, формулы, теоремы должно быть чем-то мотивировано. При изучении материала надо стремиться понять, почему именно такие понятия, формулы, теоремы нужны и/или интересны. Но это вовсе не означает, что должны быть какие-то исторические сведения. История математических идей гораздо более запутана, чем сами эти идеи в современном изложении; и вполне может быть так, что первоначально какое-то понятие вводилось для одной цели, а потом оказалось нужным совсем для другой, и первоначальная цель была забыта.

Посмотрите наше Избранное. Что-то интересное для себя можете найти в разделе "Разделы математики / Алгебра и аналитическая геометрия". Ну и в другие разделы загляните тоже.

[arseniiv]

Кстати, интересный вопрос: насколько может быть самая лучшая придуманная на текущий момент мотивировка какого-нибудь определения быть удалена от него по тексту; то есть, сколько условных кусков текста (типа других определений и доказательств, включая упражнения) необходимо понадобится освоить, прежде чем интересующее определение можно будет мотивировать. Идеальная ситуация — это мотивировка сразу после определения (или перед определением, что одно и то же в том смысле, что перед тем как узнать мотивы, после этого определения будет прочитано ноль ээ… единиц). Насколько она достижима в разных курсах?

Да, точности всё равно маловато, чтобы считать это вопросом, но можно попытаться.

[Pphantom]

Просто учебники бывают разными, и некоторые из них предназначены для самостоятельного изучения предмета, а некоторые - для поддержки учебных курсов. Вторых обычно существенно больше, и в них предполагается, что мотивировку должен рассказать преподаватель. Как вариант - она должна появиться ранее в другом курсе.

[atlakatl]

"Исторически мотивированно" составлен трёхтомник Э. Роджерса "Физика для любознательных". 2000 страниц с материалом чуть выше школьного, но с гораздо меньшей "задачной" подготовкой. Интересно, что этот учебник преподавался в Принстонском университете. - Не для физиков, естественно. Такой неспешный трёп для гуманитариев.
lyaich, Вам нравится этот курс?
В математическом варианте полтома ушло бы на рассказ о вавилонских, китайских, римских цифрах. - С плавным переходом к позиционной системе. Остаток тома посвящён переживаниям греков по поводу иррациональности $\sqrt{2}$, исследованиям квадратного уравнения, системам двух линейных уравнений.
Всё это увлекательно, но математику так не изучишь.

[warlock66613]

atlakatl в сообщении #1259664 писал(а):

но с гораздо меньшей "задачной" подготовкой

Зато с попыткой (удачной или нет - можно поспорить) отойти от системы "выучили формулы - подставляем туда данные задачи без всякого понимания что мы делаем - получаем ответ". И задачки в конце курса на мой взгляд весьма интересные, во всяком случае в школьных учебниках вы таких не найдёте.

[lyaich]

SomePupil
Я недавно наткнулся на статью на habrahabr'е "От действий над матрицами к пониманию их сути…". Вот такая информация, только более детализированная, будет очень полезна, как начинающему, так и знатоку. Как отметил сам ТС, " Возможно, кому-то это покажется "костылями", но без этих костылей, да простят меня математики, вся теория опирается на воздух и упоминание системы уравнений… Осваивая незнакомый инструмент, мне было важно для начала хотя бы приблизительно понимать, как он работает, на чём основан, и только после этого вникать в дебри теории и разбираться в тонкостях. Является ли то, что описано в статье истиной в последней инстанции? — Ни в коем разе! Полезно ли это знание для того, чтобы начать применять матричную алгебру более осознанно? — Мне кажется, да.". И я с ним полностью согласен. Если кто-то сможет дополнить его статью, то буду неистого благодарен

-- 28.10.2017, 17:58 --

SomePupil
Если помните "хорошие" учебники, то поделитесь, пожалуйста. И можно поподробнее про годный матан?

-- 28.10.2017, 18:06 --

Mikhail_K
Как бы ни было странно, я как раз и имел ввиду, что хочу узнать, для чего создавалось, и как это деформировалось, для чего используется сегодня. Спасибо за избранное, попробую там разобраться. Слишком много всего уж там^^"

[Pphantom]

lyaich, сложность в том, что Вы хотите что-то очень обширное и расплывчатое. Говорить о геометрической и физической интерпретациях разных объектов линейной алгебры можно очень много и очень долго, при приличном преподавании это обычно упоминают, что-то обнаруживается в последующих курсах и т.п. В то же время свести весь этот ворох информации воедино малореально - и из-за того, что она будет плохо структурироваться, и из-за ее большого объема.

В то же время изучить что-то действительно полезное, при этом полностью оставшись в неведении относительно смысла изучаемого... мне кажется, что это нереально. Если курс линейной алгебры был "для галочки" и все это никогда больше нигде не использовалось, то его проще просто забыть. Если же Вы с какой-то целью читаете соответствующий учебник и Вам не хватает примеров, то первый вопрос, который нужно обсудить - зачем Вы это делаете (не в том смысле, что это нужно немедленно прекратить, а для того, чтобы понять, какого рода примеры и иллюстрации Вам могут быть полезны).

[lyaich]

https://habrahabr.ru/post/277421/ вот та статья, которую я упоминал. Не знаю, удалят ли ссылку или нет.

[kp9r4d]

lyaich
Плохой текст очень, ранг и детерминант ещё более-менее, а умножение совсем уж муть какая-то. И это ещё по модулю того, что вектора и ковектора безбожно путаются :(

[Евгений Машеров]

0. Чтобы оспорить, надо хотя бы понять, что оспариваешь. Вот эту самую "догму". Начинать с того, что "я не понимаю, это не может быть верно!" непродуктивно.
1. Иногда бывает полезно понять, каким путём математика пришла к данному объекту, иногда лишь забавно. Но особой пользы от этого ждать не стоит. Комплексные числа появились потому, что придумали способ решать кубические уравнения по формуле, но обнаружилось, что действительные корни у уравнения есть, и даже три, а формула не помогает - в ней оказывает отрицательное под корнем, и формула не работает, вот и ввели кунстштюк - пускай себе будут мнимые, равные корням из отрицательных, потом всё равно сократятся. Нечто вроде деления наследства из 17 верблюдов Ходжой Насреддином. Так уравнения никто не решает давно (хотя формула в любом справочнике), и знать, что ввели их именно для этого - зачем? Ещё менее пользы от философских трактовок мнимых чисел, как Высшей Реальности, и философских же опровержений их, мнимых чисел, существования, хотя и те, и те - факт истории математики. А представление в виде координат на плоскости, одна координата действительная часть, другая мнимая, куда более востребованное сейчас - мне приятно знать, что я знаю, что это придумал Эйлер, но конкретного знания это историческое знание не добавляет.
2. Матрицы умножать можно по-разному. Я как-то нашёл пять разных умножений. Вот тут:
topic109994.html
Просто то, что даётся, как "умножение матриц" без уточнений, самое востребованное.
3. Статья мне не понравилась. Хотя вообще хабрахабровский научпоп я люблю. Определитель это действительно "число, вычисляемое по определённым правилам", и это самое главное. После того, для чего мы вычисляем определитель - чтобы определить (какое неожиданное совпадение!), есть ли решения системы уравнений (и чтобы решить способом Крамера, но он практически вытеснен более эффективными). То, что его можно интерпретировать, как объём многомерной фигуры, натянутой на строки (или столбцы) матрицы, интересно и иногда полезно (но это может быть и объем с отрицательным знаком!). Дальше автор невнятно что-то говорит об умножении матриц и умолкает, не объяснив ничего, кроме того, что полагает преподавателей и авторов учебников дураками.

[lyaich]

Евгений Машеров
Лучше бы не забавные примеры приводили, а литературу, от куда все это было вычитано. Или просто в конце сразу литературу оставлять хотя бы, хоть ладно уж, и со спойлерами)