Методы Рунге-Кутта произвольного порядка

[vpb]

Подскажите, пожалуйста, может кто знает, где написано про методы Рунге-Кутта произвольного порядка. Я имею в виду следующее. В Бахвалове, скажем, про конечно-разностные методы когда пишется, приведен пример метода произвольного порядка точности (метод Адамса), причем у него все коэффициенты и т.д. легко вычисляются. А про Рунге-Кутта приведено несколько отдельных методов небольших порядков. Притом у нескольких наиболее употребительных коэффициенты выглядят просто, вроде биномиальных коэффициентов. Это наводит на мысль, что есть какое-то обобщение на произвольный порядок. Заранее спасибо.

[vpb]

Кое-что уже нашел самостоятельно (книжку Хайрера-Ваннера).

[ewert]

Да, кстати, vpb. Если уж искать что-то систематическое, то я когда-то наткнулся вовсе не на Хайрера-Нёрсетта-Ваннера, а на Деккера-Вервера, "Устойчивость методов Рунге-Кутты для жёстких нелинейных ДУ". Там у них даже и таблички какие-то приводятся. Сам я не вникал -- лень; но какие-то таблички там есть.

[Pphantom]

Оффтопик о склонении фамилий отделен в «Склонение Кутты и Вольтерры»

[vpb]

ewert,
спасибо за указание на книжку. Там действительно написано, что существуют схемы Рунге-Кутты произвольного порядка. И в Хайрере-Ваннере тоже написано. Обе книжки весьма основательные. Одна хороша тем, что местами популярная и доходчивая, а другая тем, что систематическая и фундаментальная. Полистав их и немного подумав, я понял, что построить схему произвольного порядка довольно просто, и без всякой сложной теории. Правда, такая схема будет довольно неэкономична, но мне это не важно. Собственно, подумав, я понял, что мне и схема собственно не нужна, а надо только было придумать, как аппроксимировать решение на малом отрезке многочленом, с произвольным порядком точности, и приемлемыми вычислительными затратами.

[ewert]

vpb в сообщении #1262105 писал(а):

построить схему произвольного порядка довольно просто, и без всякой сложной теории.

Особой теории там и не нужно, а вот что построить просто -- это не так. Производные высших порядков от сложной функции, да ещё и нескольких переменных и глубокого уровня вложенности, склонны размножаться как кролики, и чтобы за ними уследить, требуется определённое терпение (мне лично его не хватило даже для вывода стандартной схемы 4-го порядка). Дело осложняется ещё и тем, что для каждого порядка количество возможных схем Р.-К. бесконечно.

vpb в сообщении #1262105 писал(а):

мне и схема собственно не нужна, а надо только было придумать, как аппроксимировать решение на малом отрезке многочленом

А там многочленов никаких и нет; похоже, что Вы путаете Рунге-Кутту с Адамсом, или с просто интегрированием.

[vpb]

ewert,
спасибо за ответ! Я подумаю, где я ошибся (или не ошибся, что менее вероятно). Может, я сам предмет, что такое схема Рунге-Кутты, неправильно понимаю?