Что значит "частица налетает слева"?

[StaticZero]

В формулировке задачи про потенциальный барьер фигурируют коэффициенты отражения и прохождения.
(Заслуженные участники, видимо, в курсе, но я напишу всё равно: дан потенциал $V(x) = 0$, если $|x| > a$, и $V(x) = U_0$, если $|x| \leqslant a$, просят найти $\psi$ и структуру спектра $\hat H$).

Предполагается при этом, что частица откуда-то "летит" и куда-то "прилетает". У меня два вопроса.

1) Почему мы, говоря "летит", решаем стационарное уравнение $\hat H \psi = E \psi$, а не полное уравнение Шрёдингера?
2) Можно решить стационарное уравнение для зоны, где потенциал нуль. Обозначим волновое число в этой зоне $k$ для краткости. Решаем уравнение

$$ \psi_{xx} + \dfrac{2 m E}{\hbar^2} \psi = 0. $$

Так как минимум потенциала 0, то $E \geqslant 0$. Решение имеет вид $\psi = A \exp(i k x) + B \exp(-i k x)$.
Вычисление тока вероятности даёт комплексное значение $\mathbf j = 2 i k \mathbf e_x (A^2 - B^2)$, поэтому пока ничего не понятно (если бы вектор был вещественный, то можно было бы понять, куда направлен $\mathbf j$, и плясать от этого, но нет).

[Metford]

StaticZero в сообщении #1260175 писал(а):

Вычисление тока вероятности даёт комплексное значение $\mathbf j = 2 i k \mathbf e_x (A^2 - B^2)$

А Вы как его считали? По такому определению?

$$j_x=\frac{i\hbar}{2m}\left(\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}-\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)$$

У меня складывается впечатление, что Вы множитель перед скобкой потеряли.

А насчёт стационарности. Вас не смущало, что при расчёте, скажем, частицы в одномерной яме - хоть бесконечно глубокой - мы тоже используем стационарное уравнение Шрёдингера? Да и для электрона в атоме водорода тоже.

[StaticZero]

Metford в сообщении #1260178 писал(а):

Вас не смущало

Не-а. Там никакие частицы никуда не летали.

Metford в сообщении #1260178 писал(а):

По такому определению?

$$ \mathbf j = \psi^* \operatorname{grad} \psi - \psi \operatorname{grad} \psi^* $$

Уравнение неразрывности написали, как

$$ \dfrac{\partial|\psi|^2}{\partial t} = \dfrac{i \hbar}{2m} \operatorname{div} \mathbf j. $$

[Metford]

StaticZero в сообщении #1260182 писал(а):

$$ \mathbf j = \psi^* \operatorname{grad} \psi - \psi \operatorname{grad} \psi^* $$

Ну, тогда не удивляйтесь, что вектор плотности потока получился мнимый. Как определили - так и получили...

StaticZero в сообщении #1260182 писал(а):

Не-а. Там никакие частицы никуда не летали.

Тогда зайдём с другой стороны. С того, как происходит переход в теории от нестационарного к стационарному уравнению Шрёдингера.

[StaticZero]

Metford в сообщении #1260185 писал(а):

стационарному уравнению Шрёдингера.

Ему отвечает стационарное состояние, определяемое двумя требованиями $\partial \hat H / \partial t = 0$ и $\psi(\mathbf r, t_0)$ — собственная функция $\hat H$.

Поищем решение в виде $\psi(\mathbf r, t) = \psi(\mathbf r) \exp \left( - \dfrac{i E t}{\hbar} \right)$, откуда

$$ \hat H \psi(\mathbf r) \exp \left( - \dfrac{i E t}{\hbar} \right) = i \hbar \dfrac{\partial \psi}{\partial t} = i \hbar \psi(\mathbf r) \left( - \dfrac{i E}{\hbar} \right) \exp \left( - \dfrac{i E t}{\hbar} \right) = E \psi(\mathbf r) \exp \left( - \dfrac{i E t}{\hbar} \right), $$

откуда

$$ \hat H \psi(\mathbf r) = E \psi(\mathbf r). $$

-- 29.10.2017, 17:48 --

Но я все равно не понял.

[Metford]

Вся зависимость от времени в выписанном Вами экспоненциальном множителе. В средних величинах, которые можно вычислить, зависимости от времени не остаётся. Если же Вы считаете вектор плотности потока вероятности, то слева Вы видите вектор, направленный к барьеру (при соответствующим образом поставленном дополнительном условии). Волна падает на барьер.

[StaticZero]

Metford в сообщении #1260217 писал(а):

Волна падает на барьер.

Ну то есть то, что "частица куда-то движется", всего-навсего фигура речи, означающая, что $\mathbf j$ имеет соответствующее направление?

[Slav-27]

StaticZero в сообщении #1260175 писал(а):

1) Почему мы, говоря "летит", решаем стационарное уравнение $\hat H \psi = E \psi$, а не полное уравнение Шрёдингера?

Вас просят посчитать спектр гамильтониана и найти его собственные состояния:

StaticZero в сообщении #1260175 писал(а):

просят найти $\psi$ и структуру спектра $\hat H$

Вот вы этим и занимаетесь.

Поэтому, я думаю, вопрос надо спрашивать наоборот: вот мы посчитали собственное состояние; почему мы теперь говорим, что частица куда-то летит?

Ответ тут такой: при фиксированном значении энергии в областях слева и справа от барьера решение (полного уравнения Шрёдингера) получается в виде суперпозиции стационарных состояний типа $\psi(x)=e^{i(kx-\omega t)}$ (где $\omega=\frac E \hbar, k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$). Каждое такое стационарное состояние имеет вполне определённое значение импульса. Поэтому про частицу в таком состоянии совершенно законно говорить не только что она "летит вправо" ("влево"), но и с какой конкретно скоростью она летит. Нельзя, правда, ничего сказать о её местоположении, но это уже другое дело...

Решение вообще получается такое (считая $k>0$): слева от барьера -- суперпозиция состояний с импульсом $\hbar k$ и $-\hbar k$, справа -- состояние с импульсом $\hbar k$. (Или то же самое, но с заменой права на лево...) Естественно говорить, что слагаемое с импульсом $+\hbar k$ слева от барьера описывает частицу, летящую из бесконечности к барьеру, слагаемое с импульсом $-\hbar k$ слева от барьера -- частицу, отразившуюся от барьера и улетающую назад в бесконечность, слагаемое с импульсом $+\hbar k$ справа от барьера -- частицу, преодолевшую барьер и летящую вправо в бесконечность. (Над барьером решение такого вида не имеет, поэтому там так говорить нельзя.)

Можно считать всё это квантовым аналогом следующей классической задачи: свободная частица массы $m$, имеющая определённую энергиею $E$, налетает слева на прямоугольный потенциальный барьер заданной высоты; описать её дальнейшее движение. Как известно, в классике частица либо пройдёт барьер, либо отскочит и полетит назад. Тут всё хитрее: она "сделает и то и другое"...

[Cos(x-pi/2)]

StaticZero

Вот как можно пояснить ситуацию. В этой задаче спектр энергии частицы $E$ и волнового числа $(k=\sqrt{2mE/\hbar^2}>0$ в области с $V(x)=0)$ - непрерывный. Поэтому, хотя легко выписать решение у. Ш. в виде страционарного состояния, так что, например, $\psi(x) = A \exp(i k x) + B \exp(-i k x)$ слева от барьера, такое решение с физической точки зрения слишком идеализированное: оно соответствует точному заданию $E$ или $k.$

Предпочтительнее считать, что величины, обладающие непрерывным спектром значений, задаются не точно, а с какой-либо неопределённостью. Другими словами, физически предпочтительнее описывать состояние частицы решением $\Psi(x,t)$ нестационарного у. Ш. - в виде суперпозиции (интеграла по $k$ в небольшом интервале значений вблизи заданного среднего значения $k)$ стационарных состояний. Так что, слева от барьера надо проинтегрировать по $k$ (с каким-либо подходящим коэффициентом $c(k))$ выражение

$$\psi(x)e^{-iE(k)t/\hbar}=A e^{i k x-iE(k)t/\hbar} + B e^{-i k x-iE(k)t/\hbar}\,.$$

Понятно, что в результате мы получим сумму двух "волновых пакетов": один из них будет с множителем $A,$ другой - с множителем $B;$ назовём их "А"-пакет и "В"-пакет. Форма и положение "центров" пакетов, вообще-то, зависят от выбора $c(k).$ Но, не вникая в детали, а ограничиваясь для качественных соображений простейшими оценками, очевидно, можно считать, что центр пакета "А" движется по траектории

$$x_A(t)=\frac{\hbar k}{m}t \, ,$$

т.е. он с увеличением времени $t$ движется направо (в область больших значений $x),$ а центр пакета "В" движется по траектории

$$x_B(t)=-\frac{\hbar k}{m}t \, ,$$

т.е. он с увеличением $t$ движется налево (в область меньших значений $x).$

А теперь, внимание. Поскольку мы рассматриваем область слева от барьера, то интересующие нас значения $x_A(t)$ и $x_B(t)$ должны быть отрицательными (точнее говоря, даже меньшими, чем $-a$ в вашей задаче, но такие детали здесь для краткости не будем уточнять). Следовательно, в формуле для $x_A(t)$ время $t$ должно быть отрицательным, а в формулу для $x_B(t)$ следует подставлять положительное время $t.$ Другими словами, нестационарное решение $\Psi(x,t)$ в области слева от барьера на ранних временах имеет вид волнового пакета "А", движущегося слева направо. Затем он подходит к барьеру, частично проходит, частично отражается, и на поздних временах слева от барьера имеется только пакет "В", движущийся налево.

Если аналогичным образом рассмотреть нестационарное решение справа от барьера в виде суперпозиции стационарных решений

$$C e^{i k x-iE(k)t/\hbar} + D e^{-i k x-iE(k)t/\hbar} \, ,$$

то аналогичным образом получим пакет "С", движущийся направо по траектории $x_C(t)=\frac{\hbar k}{m}t$ при положительных $t$ и пакет "D", движущийся налево по траектории $x_D(t)=-\frac{\hbar k}{m}t$ при отрицательных $t.$

Ситуация, когда на ранних временах (т.е., как мы здесь говорим, при отрицательных $t)$ на барьер с двух сторон налетают два пакета, "А" и "D", характерна для какой-нибудь задачи про интерферометр. В простых же задачах о вычислении коэффициентов отражения и прохождения частицы через барьер нет двух когерентных источников с двух сторон от барьера, а есть только один источник, например, слева. Тогда его работа характеризуется заданной амплитудой "А", а амплитуду "D" следует полагать равной нулю. При этом амплитуда "В" приобретает смысл амплитуды отражения, а "С" - смысл амплитуды прохождения за барьер.

Таким образом, рассмотрение нестационарного решения (волновых пакетов) выявляет смысл коэффициентов, появляющихся ещё на стадии выписывания стационарных решений, и тем самым позволяет обосновать, почему слагаемые в стационарном решении $\psi(x)$ можно в дальнейшем интерпретировать отдельно друг от друга - как самостоятельные волны, движущиеся сначала к барьеру, а затем от барьера или за барьер. Ясно, что один раз разобравшись с пакетами, удобно в дальнейшем подобные результаты формулировать кратким способом, в терминах волн $e^{\pm i k x}.$

[StaticZero]

Slav-27, Cos(x-pi/2), Metford, спасибо за ответы. Будем надеяться, что когда я встану на ступеньку повыше, то это будет казаться более понятным.

[amon]

StaticZero в сообщении #1261010 писал(а):

Будем надеяться, что когда я встану на ступеньку повыше, то это будет казаться более понятным.

Тогда совсем на языке рабочих и крестьян. Далеко от барьера потенциал ноль, и импульс - хорошо определенная величина. Собственная функция оператора импульса это $e^{ i k x}.$ При этом если $k>0,$ то частица летит в положительную сторону оси $x,$ т.е. направо, и наоборот. Если частица летела направо, то отраженная полетит налево. Значит слева от барьера будет (вдалеке) $\psi = A \exp(i k x) + B \exp(-i k x).$ а справа от барьера $\psi = D \exp(i k x).$ Там отраженной частицы нет, только прошедшая. Так лучше?

[StaticZero]

amon, уважаемый Cos(x-pi/2) всё разжевал

Да, понятно. Я о другом сказать хотел: понадеялся, что я позже в этих уравнениях найду физику.

[amon]

StaticZero в сообщении #1261019 писал(а):

Да, понятно. Я о другом сказать хотел: понадеялся, что я позже в этих уравнениях найду физику.

Это - дело привычки. К стати, у меня частица налетала на барьер слева, а если справа налетает, то что будет?

[StaticZero]

amon в сообщении #1261022 писал(а):

если справа налетает, то что будет?

Для налетающей $\psi(x) \sim A\exp(-ikx) + B \exp(ikx)$ при $x\to +\infty$, для прошедшей $\psi(x) \sim C \exp(-ikx)$ при $x \to -\infty$.

[amon]

Бинго!