Два и три велосипедиста

[iifat]

fred1996 в сообщении #1259950 писал(а):

Мы сравниваем что?

Мы, с подачи ТС, говорим о центре тяжести системы точек. О треугольнике заговорили вы:

fred1996 в сообщении #1259802 писал(а):

центр тяжести трех точек не совпадает с центром тяжести треугольника, построенного по этим точкам

Так и не понял, с чего. Но даже если рассматривать треугольник и точки внутри него, неужто при выходе четвёртой за границу центр тяжести рывком перемещается куда-то?

[svv]

iifat
Чувствую свою вину. Я говорил о выпуклой оболочке $k$ точек, имея в виду только случай, когда они являются вершинами симплекса (не лежат в одной $k-2$-мерной плоскости). fred1996 справедливо заметил, что иногда лежат, и тогда барицентр их выпуклой оболочки не обязательно совпадает с барицентром самих точек.

fred1996 признал, что

fred1996 в сообщении #1259854 писал(а):

ЦТ треугольника на самом деле совпадает с ЦТ трех одинаковых масс

А здесь он прав:

fred1996 в сообщении #1259838 писал(а):

Пока они составляют выпуклый четырехугольник, центр масс движется по прямой. Как только он заехал внутрь треугольника из трех стоящих велосипедистов, центр тяжести выпуклой оболочки остался стоять на месте.

iifat в сообщении #1259953 писал(а):

неужто при выходе четвёртой за границу центр тяжести рывком перемещается куда-то?

Его координаты зависят от времени непрерывно, но скорость будет иметь скачок.

[fred1996]

iifat
Посмотрите заглавный пост.
В нем речь идет о ЦТ треугольника. В случае треугольника он счастливым образом совпадает с ЦТ одинаковых масс в вершинах треугольника. В случае n-угольника это утверждение неверно. Они не совпадают. Но, скорее всего это наверное можно доказать, покуда многоугольник выпуклый, его центр тяжести будет равномерно двигаться по прямой.

Движение ЦТ системы точек, движущихся прямолинейно равномерно вообще не представляет задачу. Решение этой "задачи" есть простое следствие определения ЦТ системы тел.

[Geen]

fred1996 в сообщении #1260003 писал(а):

центр тяжести будет равномерно двигаться по прямой.

Центр тяжести - линейная комбинация точек - линейная комбинация полиномов снова полином степени не больше максимальной.

[svv]

Geen в сообщении #1260008 писал(а):

Центр тяжести - линейная комбинация точек

Поясните, почему это так для фигуры. Может, коэффициенты линейной комбинации зависят, например, от углов.

[amon]

svv в сообщении #1260009 писал(а):

Поясните, почему это так для фигуры.

$$ \begin{align} \vec{R}&=\frac{\sum \vec{r}_i m_i}{\sum m_i}\\ \vec{r}_i&=\vec{r}_{0i}+\vec{v}_it\\ \vec{R}&=\frac{\sum \left(\vec{r}_{0i}+\vec{v}_it\right)}{\sum m_i}=\vec{R_0}+\vec{V}t \end{align} $$

[svv]

Для конечного числа точек вопросов нет. Я под фигурой понимал многоугольник (с внутренностью).

[Geen]

svv в сообщении #1260075 писал(а):

Для конечного числа точек вопросов нет. Я под фигурой понимал многоугольник (с внутренностью).

Да, я недопонял вопрос - когда писал, последнего предложения в цитируемом сообщении ещё не было - предыдущих мне не хватило.

[fred1996]

Можно доказать, что и для выпуклого многоугольника это не так.
Пусть у нас много велосипедистов просто стоят достаточно кучно, а один отъехал достаточно далеко и удаляется от всей группы по прямой с одинаковой скоростью.
Очевидно что площадь выпуклого многоугольника в таком случае будет расти пропорционально дистанции от дальнего велосипедиста. С другой стороны она увеличивается со скоростью, пропорциональной скорости самого велосипедиста. То есть многоугольник "тяжелеет" и в пределе на больших расстояниях скорость центра масс стремится к 1/3 скорости велосипедиста.

[svv]

Не очень понял рассуждение (что в нём изменится, если кучно стоящих велосипедистов будет всего двое? между тем, для треугольника свойство выполняется). Но это не так важно, с Вашим выводом я совершенно согласен.

Только симплекс.