Минимальная сумма n-ых степеней расстояний

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1259929 писал(а):

Сейчас мы только доказали что этот ответ корректный.

И что, это верно даже для более общей функции?

[slavav]

Уточните ваш вопрос, пожалуйста.

[Rusit8800]

То есть минимум функции

$$\[a{x^p} + b{y^q} + c{(1 - x - y)^r}\]$$

обязательно лежит в области $\[x,y > 0,x + y < 1$.

[slavav]

Да, только вы забыли условия для степеней и коэффициентов.
И надо добавить что это локальный минимум.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1259938 писал(а):

только вы забыли условия для степеней и коэффициентов

Только для этих коэффициентов минимум лежит строго внутри треугольника?

[slavav]

$a, b, c > 0$, $p, q, r > 1$, тогда внутри треугольника есть минимум.

[Rusit8800]

Можете,пожалуйста,еще раз подробно повторить доказательство того, что минимум лежит строго внутри треугольника от начала до конца. А то эта часть совсем мне не понятна, в отличие от поиска самого минимума. Так я смогу конкретно спросить о том, что мне не понятно.

[slavav]

Часть первая. Постановка задачи:
Пусть $a, b, c > 0$ и $p, q, r > 1$. Определим $f(x, y) = ax^p + by^q + c(1 - x - y)^r$. Тогда у $f$ есть локальный минимум $(x_0, y_0)$ такой что $x_0, y_0 > 0$ и $x_0 + y_0 < 1$.

-- 28.10.2017, 18:53 --

Часть вторая. Вейерштрасс:
По теореме Вейерштрасса у непрерывной $f$ на замкнутом ограниченном множестве $\{(x, y) | x, y \geqslant 0, x + y \leqslant 1\}$ достигается минимум.

-- 28.10.2017, 19:22 --

Часть третья. Гипотенуза.
Рассмотрим точку $(x_0, y_0)$: $x_0, y_0 \geqslant 0, x_0 + y_0 = 1$.
Определим $g(t) = f(x_0t, y_0t) = a(x_0t)^p + b(y_0t)^q + c(1 - x_0t - y_0t)^r$.
Введём $A = ax_0^p$, $B = by_0^q$. Тогда $g(t) = At^p + Bt^q + c(1 - t)^r$.
Производная $g'(t) = pAt^{p - 1} + qBt^{q - 1} - rc(1 - t)^{r - 1}$.
Производная в единице $g'(1) = pA + qB > 0$. Следовательно функция g монотонно возрастает на некотором отрезке $[1 - \varepsilon, 1]$. Следовательно $g(1 - \varepsilon) < g(1)$.
По определению $g$ имеем $f(x_0(1 - \varepsilon), y_0(1 - \varepsilon)) < f(x_0t, y_0t)$.
Следовательно $(x_0, y_0)$ не есть точка минимума $f$.
Все точки гипотенузы не являются точками минимума функции $f$.

[slavav]

Часть четвёртая. Катеты.
Рассмотрим замену $x = 1 - \overline{x} - \overline{y}, y = \overline{x}$.
Определим $g(\overline{x}, \overline{y}) = f(1 - \overline{x} - \overline{y}, \overline{x}) = a(1 - \overline{x} - \overline{y})^p + b\overline{x}^q + c(1 - (1 - \overline{x} - \overline{y}) - \overline{x})^r = $
$= b\overline{x}^q + c\overline{y}^r + a(1 - \overline{x} - \overline{y})^p$.
Область определения $g$: $\overline{x} \geqslant 0, \overline{y} \geqslant 0, \overline{x} + \overline{y} \leqslant 1$.
Функция $g$ отвечает условиям задачи и по части третьей не имеет минимума на гипотенузе.
Наличие минимума на гипотенузе $g$ равносильно наличию минимума на катете $f$, так как замена отображает катет $f$ на гипотенузу $g$.
Следовательно функция $f$ не имеет минимума на одном из катетов.
Второй катет рассматривается аналогично.

-- 28.10.2017, 19:53 --

Часть пятая. ЧТД.
Мы показали что $f$ имеет минимум на замкнутом треугольнике и не имеет минимум на его границе. Следовательно минимум располагается внутри треугольника. ЧТД.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1259984 писал(а):

$\overline{x} \geqslant 0, \overline{y} \geqslant 0, \overline{x} + \overline{y} \leqslant 1$.

Вы уверены, что в последнем выражении неравенство?

[slavav]

Да, уверен. Замена нужна, чтобы непрерывно отобразить весь треугольник в себя, не только его стороны. Функцию $g$ требуется определить на всём треугольнике, иначе она не будет подходить под условия исходной задачи.

[Rusit8800]

Просто странно, ведь это

slavav в сообщении #1259960 писал(а):

$x_0 + y_0 < 1$

по идее параметризация гипотенузы, значит, по аналогии, это

slavav в сообщении #1259984 писал(а):

$x = 1 - \overline{x} - \overline{y}, y = \overline{x}$.

параметризация одного из катетов.Но условие

slavav в сообщении #1259984 писал(а):

$\overline{x} \geqslant 0, \overline{y} \geqslant 0, \overline{x} + \overline{y} \leqslant 1$.

делает из него не катет, а какую-то двухмерную фигуру на плоскости.

[slavav]

Треугольник это множество ограниченное тремя неравенствами: $x_0 \geqslant 0$, $y_0 \geqslant 0$, $x_0 + y_0 \leqslant 1$.
Гипотенуза это отрезок прямой $x_0 + y_0 = 1$, а именно $[(1, 0), (0, 1)]$.
Катет, который мы рассматривали это отрезок прямой $y = 0$, а именно $[(0, 0), (1, 0)]$.
Проверьте самостоятельно что замена $x = 1 - \overline{x} - \overline{y}, y = \overline{x}$ отображает треугольник на треугольник. Проверьте что эта замена отображает катет на гипотенузу.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1260022 писал(а):

Проверьте самостоятельно что замена $x = 1 - \overline{x} - \overline{y}, y = \overline{x}$ отображает треугольник на треугольник.

Немного непонятно. По идее, эта замена преобразовывает именно саму функцию, а треугольник - это по сути область определения, которая остается на месте.

[slavav]

Уточните, что вам не понятно.