Цепи в P(R)

[Профессор Снэйп]

Доказать, что в $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ (множество всех подмножеств действительной прямой) существует цепь (т. е. линейно упорядоченное подмножество) длины (т. е. мощности) большей, чем континуум.

Истинность континуум-гипотезы не предполагается (хотя с ней, конечно, проще).

P. S. Здесь уже решили. Те, кто хочет порешать сам --- не смотрите туда!

[Echo-Off]

Эээ... берём $\mathcal{P}(\mathbb{R}$ и вполне упорядочиваем его. Разве нет?

Вообще, что подразумевается под линейной упорядоченностью? А то в разных книгах разные определения бывают.

[Профессор Снэйп]

Echo-Off писал(а):

Эээ... берём $\mathcal{P}(\mathbb{R}$ и вполне упорядочиваем его. Разве нет?

Вообще, что подразумевается под линейной упорядоченностью? А то в разных книгах разные определения бывают.

Вы не поняли задачу. Имеется в виду стандартный порядок на $\mathcal{P}(\mathbb{R})$, относительно включения. То есть, другими словами, спрашивалось, есть ли цепи длины больше континуума в ЧУМе $\langle \mathcal{P}(\mathbb{R}), \subseteq \rangle$.

Под линейной упорядоченностью везде и всегда понимается одно и то же. Линейный порядок --- это такой частичный порядок, в котором любые два элемента сравнимы.

[antbez]

А теорема Кантора-Бернштейна нам тут не помогает?

[ddn]

Профессор Снэйп писал(а):

Доказать, что в $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ (множество всех подмножеств действительной прямой) существует цепь (т. е. линейно упорядоченное подмножество) длины (т. е. мощности) большей, чем континуум.

Истинность континуум-гипотезы не предполагается (хотя с ней, конечно, проще).

Если гипотеза Выбора предполагается, то все просто. Упорядочиваем лексикогафически все $\omega_?$-ординальные последовательности нулей и единиц, где $\omega_?=2^\aleph_0$ (их, последовательностей, будет числом $2^{2^\aleph_0}$). Вот вам линейное упорядочение всего множества $\mathcal{P}(\mathbb{R})$.
Точно также мы выводим линейное упорядочение континуума $2^\aleph_0$ из вполне упорядочения счетного множества-ординала $\omega_0=\aleph_0$.

[Профессор Снэйп]

antbez писал(а):

А теорема Кантора-Бернштейна нам тут не помогает?

Нет, не помогает. По крайней мере, я не вижу как.

Возможно, где-то там не неё ссылка всё равно будет. Но суть не в этом. Это не учебная задача в одно действие, которую должны уметь решать все студенты, слышавшие про теорему Кантора-Бернштейна. Это --- задача, не случайно попавшая в олимпиадный раздел форума.

Добавлено спустя 4 минуты 48 секунд:

ddn писал(а):

Если гипотеза Выбора предполагается, то все просто....

Точно также мы выводим линейное упорядочение континуума $2^\aleph_0$ из вполне упорядочения счетного множества-ординала $\omega_0=\aleph_0$.

Блин, ну сколько можно!?

Почему бы Вам всё-таки, прежде чем высказывать свои архиценные идеи, не прочитать внимательно условие задачи? А в особенности --- третье сообщение в этой теме, в котором содержится ответ на вопрос ещё одного "поспешного решателя", допустившего аналогичную ошибку.

Добавлено спустя 2 часа 44 минуты 44 секунды:

Давайте я переформулирую задачу.

Доказать, что существует $L \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{R})$, такое что $|L| > c$ и для любых $X,Y \in L$ либо $X \subseteq Y$, либо $Y \subseteq X$.

[ddn]

Профессор Снэйп писал(а):

Доказать, что существует $L \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{R})$, такое что $|L| > c$ и для любых $X,Y \in L$ либо $X \subseteq Y$, либо $Y \subseteq X$.

А, я забыл про естественный порядок.

(помним что $2=\{0,1\}$, и кардиналы тоже, например $2^{\aleph_0}$, рассматриваются как ординалы)
В линейно упорядоченном множестве $(2^{\aleph_0}\to 2)$ вполне упорядоченных последовательностей $\{a_{\alpha}\}_{\alpha\in 2^{\aleph_0}$ нулей и единиц (кстати, последовательности с некоторого члена обращающиеся в единицу можно отбросить), берем всюду плотное, без внутренних точек, континуальной $2^{\aleph_0}$ мощности множество $X_0$ (как аналогично, на континууме действительной прямой $\mathbb{R}$ берем всюду плотное, без внутренних точек, счетное множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$). Это будут последовательности периодические с некоторого начального ординала $\alpha_0<2^{\aleph_0}$, период очевидно будет некоторым ординалом $0<\beta_0<2^{\aleph_0}$, а периодическая группа повторится континуум раз:
$a_{\alpha}=a_{\alpha+\beta_0}=a_{\alpha+\beta_0\times\gamma}$, где $\alpha_0\leqslant\alpha$ и $\gamma\in 2^{\aleph_0}$

Очевидно, множество $X_0$ в индуцированной линейным порядком топологии на $(2^{\aleph_0}\to 2)$ будет:

1) всюду плотно, ибо
между двумя разными последовательностями $\{a_{\alpha}\}$ и $\{b_{\alpha}\}$ (где $a<b$) из $(2^{\aleph_0}\to 2)$ всегда найдется периодическая последовательность $c$ (то есть $a<c<b$), действительно:
пусть $\alpha_1=min(\alpha|\alpha\in 2^{\aleph_0}, a_{\alpha}\not=b_{\alpha})$ (очевидно $a_{\alpha_1}=0$ и $b_{\alpha_1}=1$),
$\alpha_2=min(\alpha|\alpha\in 2^{\alpha_0}, \alpha_1<\alpha, a_{\alpha}=0)$, тогда положим
$c_{\alpha}=a_{\alpha}=b_{\alpha}$ при $\alpha<\alpha_1$ (сохраняет $a\leqslant c\leqslant b$)
$c_{\alpha}=a_{\alpha_1}=0<b_{\alpha_1}=1$ при $\alpha=\alpha_1$ (дает $c<b$, сохраняет $a\leqslant c$)
$c_{\alpha}=a_{\alpha}=1$ при $\alpha_1<\alpha<\alpha_2$ (сохраняет $a\leqslant c$)
$c_{\alpha}=1>a_{\alpha_2}=0$ при $\alpha=\alpha_2$ (дает $a<c$)
(т.о. обеспечивается $a<c<b$)
и хвост, скажем такой $c_{\alpha_2+2\times\gamma+1}=0$ и $c_{\alpha_2+2\times\gamma+2}=1$ где $\gamma\in 2^{\aleph_0}$ (дает периодичность);

2) без внутренних точек, ибо
между двумя разными периодическими последовательностями из $(2^{\aleph_0}\to 2)$ всегда найдется непериодическая последовательность (дополнительное к $X_0$ множество тоже всюду плотно):
построение тоже самое, но в последнем пункте добавляется непериодический хвост;

3) континуальность, ибо
каждая периодическая последовательность однозначно определяется ее минимальным начальным сегментом из $\mathbb{A}_0=\bigcup\limits_{\alpha_0\in 2^{\aleph_0}}(\alpha_0\to 2)$ и непериодическим сегментом ее периода из $\mathbb{B}_0=\bigcup\limits_{0<\beta_0\in 2^{\aleph_0}}(\beta_0\to 2)=\mathbb{A}_0/(0\to 2)$. Сегмент периода не должен быть хвостом начального сегмента.
Если справедлива континуум гипотеза ($CH$), то
$card(\mathbb{A}_0)=\sum\limits_{\alpha_0\in \omega_1}}2^{card(\alpha_0)}=\sum\limits_{\alpha_0\in \omega_0}}2^{\alpha_0}+\sum\limits_{\omega_0\leqslant\alpha_0\in \omega_1}}2^{\aleph_0}=\aleph_0+2^{\aleph_0}\cdot2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$,
аналогично $card(\mathbb{B}_0)=2^{\aleph_0}$.
Тогда периодических последовательностей имеется не более $card(\mathbb{A}_0)\cdot card(\mathbb{B}_0)=2^{\aleph_0}$. Очевидно их континуум (доказывать не буду).

Действительную прямую $\mathbb{R}$ мы заменим нашим континуальным множеством $X_0$.
Тогда, скажем верхние, дедекиндовы сечения множества $X_0$ (открытые снизу), то есть такие подмножества $X$, что $\forall a\in X \forall b\in X_0(a<b\Rightarrow b\in X)$ и без минимального элемента, образуют искомую цепь $L$ мощности $2^{2^{\aleph_0}}$, ибо
- у разных множеств цепи $L$ разные нижние грани в $(2^{\aleph_0}\to 2)$
- нижние грани элементов $L$ пробегают все элементы множества $(2^{\aleph_0}\to 2)$
(что дает $L$ мощность $2^{2^{\aleph_0}}$)
- элементы цепи $L$ линейно упорядочены включением

Доказательство без континуум гипотезы ($CH$) в высшей степени сомнительно, скорее всего это неразрешимая проблема.

[id]

Профессор Снэйп
В "Избранных задачах по вещественному анализу", помнится, предлагали осуществить подобное построение для $\mathbb{Q}$.

[Профессор Снэйп]

id писал(а):

Профессор Снэйп
В "Избранных задачах по вещественному анализу", помнится, предлагали осуществить подобное построение для $\mathbb{Q}$.

Задача для $\mathbb{Q}$ значительно проще.

[id]

Профессор Снэйп
Так разве линейно упорядоченное подмножество $\mathcal{P}(\mathbb{Q})$ континуальной мощности не будет линейно упорядоченным подмножеством $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ континуальной мощности?

[Профессор Снэйп]

id писал(а):

Профессор Снэйп
Так разве линейно упорядоченное подмножество $\mathcal{P}(\mathbb{Q})$ континуальной мощности не будет линейно упорядоченным подмножеством $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ континуальной мощности?

id
Так разве Ваше замечание имеет хоть какое-то отношение к поставленной задаче?

[id]

Профессор Снэйп
Если линейно упорядоченное подмножество $\mathcal{P}(\mathbb{Q})$ континуальной мощности будет линейно упорядоченным подмножеством $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ континуальной мощности, то имеет ( если я правильно пониманимаю, что $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ есть множество всех подмножеств $\mathbb{R}$ ).

P.S.
Ну или словами напишу. Ищем набор подмножеств действительной прямой так, чтобы мощность этого набора была континуальной, а сам набор оказался линейно упорядоченным отношением включения. Тогда множества вида $(\infty,a)$, где $a \in \mathbb{R}$ будут образовывать такой набор континуальной мощности. Линейно упорядочен по включению - да. Континуален - да.

[Профессор Снэйп]

id писал(а):

Если ..., то имеет...

Ну и какое же? В чём оно заключается?

[id]

id
Выше ответил. Если рассматривать множества вида $\mathbb{Q}\cap(\infty,a)$, где $a \in \mathbb{R\Q}$, то это будет решением для случая рациональной прямой ( вот какое решение имелось ввиду ).

P.S. Точнее, не ответил, а поправил пост до того, как прочитал Ваш. С целью полнее выразиться... не успел.

P.P.S. Заранее скажу, имел ввиду $-\infty$.

[Профессор Снэйп]

id писал(а):

Ну или словами напишу. Ищем набор подмножеств действительной прямой так, чтобы мощность этого набора была континуальной...

Зачем нам такой набор искать? Разве в задаче это требуется?