Цепи в P(R)

[id]

Профессор Снэйп
Ой. Больше, чем континуум.

[Профессор Снэйп]

ddn писал(а):

В линейно упорядоченном множестве $(2^{\aleph_0}\to 2)$ вполне упорядоченных последовательностей $\{a_{\alpha}\}_{\alpha\in 2^{\aleph_0}$ нулей и единиц (кстати, последовательности с некоторого члена обращающиеся в единицу можно отбросить), берем всюду плотное, без внутренних точек, континуальной $2^{\aleph_0}$ мощности множество $X_0$ (как аналогично, на континууме действительной прямой $\mathbb{R}$ берем всюду плотное, без внутренних точек, счетное множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$). Это будут последовательности периодические с некоторого начального ординала

Идея решения правильная (если я её, в свою очередь, правильно понял). Но конструкция чересчур громоздкая, на мой взгляд. Зачем брать какие-то периоды?.. Достаточно просто рассматривать последовательности, в которых начиная с некоторого места идут одни нули.

Так же в $\mathbb{R}$: если мы ищем счётное всюду плотное множество, не обязательно брать всё $\mathbb{Q}$, достаточно рассматривать только числа вида $m/10^n$ для целых $m$ и натуральных $n$

ddn писал(а):

Доказательство без континуум гипотезы ($CH$) в высшей степени сомнительно, скорее всего это неразрешимая проблема.

Ну почему же неразрешимая? По той ссылке, которую я приводил в первом сообщении темы, всё решено

А вот на следующий вопрос, поставленный там же, ответа не даётся.

Существует ли в $\langle \mathcal{P}(\mathbb{R}), \subseteq \rangle$ цепь, длина которой равна два в степени континуум?

С континуум-гипотезой решение очевидно, а вот как решать без континуум-гипотезы, я не знаю.