Возможность построения векторного пространства

[Returning0fficer]

arseniiv

Видимо, меня сбивает то, что какое бы векторное пространство мы бы не построили, используя вещественные числа (не более, чем несчетномерное), между ним и вещественной прямой можно будет установить биекцию.

Понятно, что можно представить просто $\mathbb R^1$, с одноточечным базисом, где векторы — действительные числа, а значит, взаимно-однозначно соответствуют множеству действительных чисел.

Относительно пункта 1:
То есть, есть несчетные множества разной мощности? Например, $2^{\aleph_1}$ - несчетно? Тогда да, конечно, я неправ. Почему-то склеились мощность континуума и его несчетность.


Относительно пункта 2:
Я так понимаю, вы про базис Гамеля, но почему нельзя рассмотреть базис Шаудера?

Не понимаю, откуда взялась формула $(\text{поле})^* = \bigcup\limits_{n\in\mathbb N} (\text{поле})^n$? Ведь каждый базисный элемент мы можем умножить на всякий элемент поля. То есть, нам же нужны все конечные подмножества множества, так как мы говорим про базис Гамеля, $\text{базис}^{\text{поле}}$ — все линейные комбинации элементов нашего пространства.

[Slav-27]

Returning0fficer
С размерностью тут ситуация такая. Как известно, "векторное пространство имеет размерность $n$" -- это значит, что там есть $n$ линейно независимых векторов, а любые $n+1$ векторов уже линейно зависимы. ("Имеет бесконечную размерность" -- значит для любого $k$ есть семейство из $k$ линейно независимых векторов.)

У нас пока определено только умножение на скаляры, а сложение не определено. В такой ситуации, вообще говоря, нельзя сказать, какие семейства линейно независимы, а какие нет. Однако кое-какое условие на размерность всё-таки можно извлечь. Действительно, известно ведь, что если 2 вектора пропорциональны (то есть один из них получается из другого умножением на скаляр), то они линейно зависимы -- это верно для любого векторного пространства над любым полем.

Поэтому для начала стоит подумать: а для каких $n$ можно найти такое семейство из $n$ векторов, что никакие 2 вектора из этого семейства не пропорциональны? В нашей ситуации этот вопрос совершенно корректен, поскольку операция умножения у нас уже задана, а для того, чтобы определить, пропорциональны ли 2 данных вектора, сложение не требуется.

Если такое семейство можно найти для любого $n$, то про размерность таким образом узнать ничего нельзя. Если же окажется, что, например, среди любых $k$ векторов найдутся 2 пропорциональных, то это будет означать, что размерность должна быть меньше $k$. Я подсказываю, что в нашей ситуации можно извлечь какое-то ограничение на размерность таким способом, и я уже даже почти рассказал, как.

-- 23.10.2017, 12:24 --

Думать про базис Шаудера я сейчас не советую.

В определении векторного пространства сказано, что операция сложения определена для двух векторов. Хорошо известно, что её можно корректно доопределить для любого конечного числа векторов (полагая по определению, что $\vec u+\vec v+\vec w=(\vec u+\vec v)+\vec w$ и так далее). Но сумму бесконечного количества векторов таким образом определить не получается (её нельзя так просто свести к попарным суммам).

Для того, чтобы корректно определить сумму бесконечного количества векторов, вводят на векторном пространстве какую-то дополнительную структуру. Потом дают довольно длинное определение и проверяют его корректность.

Здесь это не понадобится.

[Returning0fficer]

Slav-27
То есть, так как $\mathbb R$ — поле, то оно замкнуто относительно умножения, значит, произведение всяких двух элементов поля — элемент поля. Так как у нас поле — $\mathbb R$, а векторы — тоже действительные числа, то любой элемент векторного пространства можно получить, умножая $\vec 1$ на некий скаляр. То есть, всякие два вектора пропорциональны, если векторы, конечно, это просто действительные числа или одноэлементные последовательности. Но разве это будет верно для пространства, построенного из элементов $\mathbb R$, как множество последовательностей из этих элементов? Не всякие две последовательности выразимы через вектор (1,...,1,...). Тогда и размерность такого пространства больше 1.


Я понял, почему последнее не работает — невозможен изоморфизм $V$ и$\mathbb R$?

[Slav-27]

Returning0fficer в сообщении #1258243 писал(а):

То есть, так как $\mathbb R$ — поле, то оно замкнуто относительно умножения, значит, произведение всяких двух элементов поля — элемент поля. Так как у нас поле — $\mathbb R$,

Да.

Returning0fficer в сообщении #1258243 писал(а):

а векторы — тоже действительные числа

Правильнее сказать, что они взаимно-однозначно им соответствуют.

Returning0fficer в сообщении #1258243 писал(а):

то любой элемент векторного пространства можно получить, умножая $\vec 1$ на некий скаляр

Это верно, но не является следствием утверждений, которые вы написали перед этим. Поэтому слово "то" сюда не подходит.

Returning0fficer в сообщении #1258243 писал(а):

всякие два вектора пропорциональны

Да.

Returning0fficer в сообщении #1258243 писал(а):

если векторы, конечно, это просто действительные числа или одноэлементные последовательности.

Не надо говорить, что векторы -- эти числа или последовательности. Можно только говорить, что между ними есть взаимно-однозначное соответствие.

Returning0fficer в сообщении #1258243 писал(а):

Но разве это будет верно для пространства, построенного из элементов $\mathbb R$, как множество последовательностей из этих элементов?

Скорее всего не будет. Но это пространство не имеет никакого отношение к вашей задаче. Откуда вы его вообще взяли?

Returning0fficer в сообщении #1258243 писал(а):

Тогда и размерность такого пространства больше 1.

Да, но пространство, которое вам нужно построить, не может быть таким: вы же сами пишете, что у нас все векторы должны быть пропорциональны, а для того нового пространства, которое вы придумали, это неверно.

Returning0fficer в сообщении #1258243 писал(а):

Я понял, почему последнее не работает — невозможен изоморфизм $V$ и$\mathbb R$?

Изоморфизм $V$ и $\mathbb R$ как векторных пространств возможен ровно тогда, когда $V$ -- одномерное вещественное векторное пространство.

[Returning0fficer]

Slav-27
Мне кажется, что я понял, в чём проблема: я за $\mathbb R$ принимал произвольное мн-во, которое можно из $\mathbb R$ построить, то есть, хоть $\mathbb R^{\infty}$, а здесь говорится именно про $\mathbb R^1$?

[Slav-27]

$\mathbb R$ -- это стандартное обозначение множества вещественных чисел. Этим же знаком оно обозначается как поле, а также как 1-мерное вещественное векторное пространство.

[Returning0fficer]

Slav-27
Если мы определили как-то хитро векторное сложение, как некую функцию $s: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$. Тогда как быть с дистрибутивностью относительно скалярного сложения, которое явно определено? Там же получится скалярная сумма двух векторов..

[Slav-27]

Напишите конкретно, что, по-вашему, не получится. Я вчера считал, и у меня, по-моему, всё получалось.

[Returning0fficer]

Slav-27
Следующее верно: $(\lambda_1 +\lambda_2)\vec a = \vec {\lambda_1 a} \oplus \vec {\lambda_2 a}$?
Я засомневался в переходе от сложения в поле к сложению в векторном пространстве...

[vpb]

А может быть, ТС недостаточно понимает, что такое "множество со структурой" вообще? Я бы отвлекся от вопроса о векторных пространствах и предложил такую задачу. Дано множество из 4 элементов. Сколько существует на этом множестве структур группы? А там, глядишь, и про векторные пространства прояснение наступит... Понятию-то группы, векторного пространства, поля и т.д. в университете учат, а понятию структуризованного множества --- разве что неявно. Скажите, ТС, у Вас в курсе было такое понятие?

P.S. Перечитал сейчас начало темы. Ясно, что такое понятие в курсе, который слушал ТС, было. Все-таки предложенную задачу рекомендую решить. И вот еще одна, в продолжение. Пусть $M$ --- множество из 4 элементов, $F$ --- поле из 4 элементов. Сколько на $M$ есть структур векторного пространства над $F$ ?

[Slav-27]

Returning0fficer в сообщении #1258374 писал(а):

Следующее верно: $(\lambda_1 +\lambda_2)\vec a = \vec {\lambda_1 a} \oplus \vec {\lambda_2 a}$?

Вы бы посмотрели уже на аксиомы векторного пространства -- и тогда легко бы ответили сами на свой вопрос. Разумеется, это неверно. Более того, это бессмысленно, поскольку умножение вектора на скаляр мы договорились обозначать знаком $\odot$.

Аксиома что говорит? Она говорит: $(\lambda_1+\lambda_2)\odot\vec a = \lambda_1 \odot \vec a \oplus \lambda_2 \odot \vec a$.

[Returning0fficer]

vpb
Понятия структуризованного множества в явном виде не встречал, каюсь.


Про задание со структурой группы: насколько я знаю, конечных групп четвертого порядка - две

-- 23.10.2017, 20:34 --

Slav-27
Да, запамятовал, что мы обозначили умножение на скаляр как $\odot$. На вопрос вы мой все равно ответили: сначала мы говорим про сложение в контексте поля, а затем уже про сложение внутри векторного пространства. Просто во всех аксиомах эти операции записываются идентичным знаком $+$, что меня смутило.

[Slav-27]

Returning0fficer в сообщении #1258389 писал(а):

Просто во всех аксиомах эти операции записываются идентичным знаком $+$, что меня смутило.

А вы перепишите их сюда все 8 и со знаками $\oplus$ и $\odot$. Во-первых, это, думаю, само по себе вам будет полезно, а во-вторых, если вы собираетесь дорешивать свою задачу, то этим заняться всё равно когда-то придётся.

[vpb]

ReturningOfficer,
какой у Вас ник длинный, аж писать неудобно. А искажать не положено... Ну вот, судя по ответу про две группы четвертого порядка, Вы не различаете понятия "группа с точностью до изоморфизма" и "структура группы на данном множестве". Ясно, что и с вопросом про векторное пространство трудности будут. Я кое-что в мое предыдущее сообщение дописал, перечитайте. Попробуйте сформулировать, что такое "структура группы".

[Slav-27]

(vpb)

Если по нику слева щёлкнуть, он вставится автоматически.