Интерполяция или аппроксимация?

[mserg]

Многое зависит от критерия погрешности. Например, если погрешность сумма квадратов отклонений с весами, обратными квадратному корню значения, то можно присмотреться к функции:
$e^{\frac {ax+b} {x+c/x}}$
С подобранными константами она выглядит так:

Exp((8.53734281090085*x+7.47689785879917)/(x+0.31215840289037/x))

Есть функции и поточнее, например, с 4-мя константами и одним вхождением аргумента:

Exp(28.3606335883861/(2.31700356432675+Exp((-2.73233117053527)/((-0.45622483866257)+x))))

и др.

Каждая из них сходит с ума по своему на интервале 0.0...1.0. Интересно посмотреть наложение точек на график функций в интервале 0.1...5.0

Если выбрать другой критерий, подходящая функция будет другой.

[Adventor]

mserg,
спасибо, данная функция довольно хорошо аппроксимирует, в пределах погрешностей этого достаточно. Два вопроса:
1. Исходя из каких соображений выбран вид функции?
2. Как искались коэффициенты?
Спасибо.

[mserg]

Поиск велся в функциональном пространстве {'+', '-', '*', '+', ln, exp, const} плюс аргумент функции x.

Поиск заключался в регулярном переборе функций в эвристическом порядке, и для каждой функции с константами решалась задача подбора этих констант с помощью пакета BONMIN.

В общем, это довольно сложная система ... одно только подключение BONMIN - целая эпопея, если нет средств моделирования (AMPL, GAM и т.д.).

Предпочтение отдается простым и точным функциям.
Если точнее, то для функции подсчитывалась "длина" в зависимости от закорючек, из которых она состоит.
Для каждой из длин при поиске сохранялись функции с наибольшей точностью. Приведенные мною функции - это всего лишь 2 из множества функций. Есть более простые, но с меньшей точностью, и более сложные с точностью повыше.

При поиске могли быть пропущены функции, которые и короче, и точнее. Причиной может быть неточность решения задачи подбора констант, а также вероятностные методы сокращения пространства перебора функции. Как бы то ни было, автоматический подбор функций по данным превосходит по простоте / точности функции, подобранные участниками форума вручную. Речь, конечно, идет о задачах, размещенных на данном форуме.

[Adventor]

mserg,
Я правильно понял, что функции подбирались автоматически, для заданного пространства?

Вижу что дело очень непростое...

[mserg]

Да, Вы правильно поняли, функции перебираются автоматически.